2016_北京卷
19．（14 分）已知椭圆 $\mathsf C : \frac { \boldsymbol x ^ { 2 } } { \mathsf a ^ { 2 } } + \frac { \boldsymbol y ^ { 2 } } { \mathsf b ^ { 2 } } { \mathsf = } \mathsf { 1 } ( \mathsf a > \mathsf b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \ A \ ( \mathsf { a } , \ 0 ) , \mathsf { B }$
（0，b），O（0，0）， $\triangle0 A B$ 的面积为 1
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N．求证： $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right|$ 为定值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KL：直线与椭圆的综合
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合 a，b，c 的关系，解方程可得 $\mathsf { a } = 2 , \mathsf { b } = 1$ ，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）方法一、设椭圆上点 ${ \sf P } \left( \sf x _ { 0 } , \sf y _ { 0 } \right)$ ，可得 $x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 y _ { 0 } ^ { 2 } = 4$ ，求出直线PA的方程，令 $\scriptstyle x = 0$ ，求得 $\forall , \quad \left| \mathsf { B } \mathsf { M } \right|$ ；求出直线 PB 的方程，令 $\scriptstyle { \mathsf { y } } = 0$ ，可得 $\mathsf { \qquad x , \mathsf { \Pi } } | \mathsf { A N } |$ ，化简整理，即可得到 $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right|$ 为定值 4
方法二、设 P（2cosθ，sinθ）， $( 0 { \leqslant } \Theta { < } 2 \pi )$ ），求出直线PA的方程，令 $\scriptstyle x = 0$ ，求得$\forall , \quad \left| \mathsf { B } \mathsf { M } \right|$ ；求出直线 PB 的方程，令 $\scriptstyle \forall = 0$ ，可得 $\mathsf { \qquad x , \mathsf { \Pi } } | \mathsf { A N } |$ ，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到 $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right|$ 为定值4
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 $\mathtt { e { = } \frac { \mathtt { c } } { \mathtt { = } } \mathtt { = } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
又 $\triangle0 A B$ 的面积为1，可得 $\frac 1 2 \mathsf { a b } = 1$
且 $\mathsf { a } ^ { 2 } - \mathsf { b } ^ { 2 } { = } \mathsf { c } ^ { 2 }$
解得 $a = 2 , b = 1 , c = { \sqrt { 3 } } ,$
可得椭圆C的方程为 $\frac { \tt x ^ { 2 } } { \tt 4 } + y ^ { 2 } = 1$ ●
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点 ${ \sf P } \left( \sf x _ { 0 } , \sf y _ { 0 } \right)$
可得 $x _ { 0 } ^ { 2 } + 4 y _ { 0 } ^ { 2 } = 4$
直线 PA： $\forall = \frac { \mathbf { y } _ { 0 } } { \mathbf { x } _ { 0 } - 2 } \ ( \mathbf { x } - 2 )$ ），令 $\scriptstyle x = 0$ ，可得 $\forall = - \frac { 2 \mathbf { y } _ { 0 } } { \mathbf { x } _ { 0 } - 2 }$
则 $| \mathsf { B M } | = \big | 1 ^ { + } \frac { 2 \mathsf { y } _ { \bar { 0 } } } { \mathsf { x } _ { \bar { 0 } } - 2 } \big |$
直线 PB： $\mathsf { y } { = } \frac { \mathsf { y _ { 0 } } - 1 } { \mathsf { x _ { 0 } } } \mathsf { x } { + } 1$ ，令 $\scriptstyle { \mathsf { y } } = 0$ ，可得 $\mathbf { x } = - \ \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { \mathbf { y } _ { 0 } - 1 } ,$
则 $\left| \mathsf { A N } \right| = \big | 2 \mathrm { + } \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { \mathbf { y } _ { 0 } \mathrm { - 1 } } \big |$
可得 $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right| = \big | 2 ^ { + } \frac { \mathtt { x _ { 0 } } } { \mathtt { y _ { 0 } } ^ { - 1 } } \big | \bullet \big | 1 ^ { + } \frac { 2 \mathtt { y _ { 0 } } } { \mathtt { x _ { 0 } } ^ { - 2 } } \big |$
$$ = \vert \frac { ( \mathrm { \bf ~ x } _ { 0 } + 2 \mathrm { \bf ~ y } _ { 0 } - 2 ) ^ { 2 } } { ( \mathrm { \bf ~ x } _ { 0 } - 2 ) ( \mathrm { \bf ~ y } _ { 0 } - 1 ) } \vert = \vert \frac { \mathrm { \bf ~ x } _ { 0 } { } ^ { 2 } + 4 \mathrm { \bf ~ y } _ { 0 } { } ^ { 2 } + 4 + 4 \mathrm { \bf ~ x } _ { 0 } \mathrm { \bf ~ y } _ { 0 } - 4 \mathrm { \bf ~ x } _ { 0 } - 8 \mathrm { \bf ~ y } _ { 0 } } { 2 + \mathrm { \bf ~ x } _ { 0 } \mathrm { \bf ~ y } _ { 0 } - \mathrm { \bf ~ x } _ { 0 } - 2 \mathrm { \bf ~ y } _ { 0 } } \vert $$
$$ \mathbf { \tau } = \vert \frac { 8 + 4 \mathbf { x } _ { 0 } \mathbf { y } _ { 0 } - 4 \mathbf { x } _ { 0 } - 8 \mathbf { y } _ { 0 } } { 2 + \mathbf { x } _ { 0 } \mathbf { y } _ { 0 } - \mathbf { x } _ { 0 } - 2 \mathbf { y } _ { 0 } } \vert = 4 , $$
即有 $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right|$ 为定值 4
证法二：设 $\mathsf { P } ( 2 \mathsf { c o s } \Theta , \mathsf { s i n } \Theta ) , ( 0 \leqslant \Theta < 2 \pi )$
直线 PA： $y = \frac { \sin \theta } { 2 \cos \theta - 2 } ( x - 2 )$ ），令 $\scriptstyle x = 0$ ，可得 $\mathsf { y } = - \frac { \mathsf { s i n } \mathsf { \theta } } { \mathsf { c o s } \mathsf { \theta } - 1 } ,$
则 $| \mathsf { B M } | = | \frac { \mathsf { s i n } \hat { \mathsf { \theta } } + \mathsf { c o s } \hat { \mathsf { \theta } } - 1 } { 1 - \mathsf { c o s } \hat { \mathsf { \theta } } } |$ ；
直线 PB： $\mathsf { y } = \frac { \mathsf { s i n } \ominus - 1 } { 2 \mathsf { c o s } \ominus } \mathsf { x } ^ { + 1 }$ ，令 $\scriptstyle { \mathsf { y } } = 0$ ，可得 $x = - \frac { 2 \cos \theta } { \sin \theta - 1 }$
则 $\big | \mathsf { A N } \big | = \big | \frac { 2 \mathsf { s i n } \hat { \mathsf { \Pi } } \hat { \mathsf { H } } + 2 \mathsf { c o s } \hat { \mathsf { \Pi } } \hat { \mathsf { H } } - 2 } { 1 - \mathsf { s i n } \hat { \mathsf { \Pi } } } \big |$
即有 $| \mathsf { A N } | \bullet | \mathsf { B M } | = | \frac { 2 \mathsf { s i n } \Theta + 2 \mathsf { c o s } \Theta - 2 } { 1 - \mathsf { s i n } \Theta } | \bullet | \frac { \mathsf { s i n } \Theta + \mathsf { c o s } \Theta - 1 } { 1 - \mathsf { c o s } \Theta } |$
$$ = 2 \vert \frac { \sin ^ { 2 } \theta + \cos ^ { 2 } \theta + 1 + 2 \sin \theta \cos \theta - 2 \sin \theta - 2 \cos \theta } { 1 + \sin \theta \cos \theta - \sin \theta - \cos \theta } \vert $$
$$ = 2 \vert \frac { 2 + 2 \sin \theta \cos \theta - 2 \sin \theta - 2 \cos \theta } { 1 + \sin \theta \cos \theta - \sin \theta - \cos \theta } \vert = 4 . $$
则 $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right|$ 为定值 4
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题