正方形ABCD的边长是2，E是AB 的中点，则 E C ·…——2023 高考数学第 6 题答案解析

【答案】B

【解析】

**方法一**：以 $\left\{ { \overrightarrow { A B } } , { \overrightarrow { A D } } \right\}$ 为基底向量表示 $^ { \mathrm { u u u } } _ { E C , E D }$ ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cosÐDEC，进而根据数量积的定义运算求解

**方法一**：以 $\left\{ { \overrightarrow { A B } } , { \overrightarrow { A D } } \right\}$ 为基底向量，可知 $\stackrel { \mathbf { U U } } { A B } \stackrel { } { = } \stackrel { | \mathbf { U U } | } { A D } = 2 , \stackrel { \mathbf { U U } } { A B } \cdot \stackrel { \mathbf { U U } } { A D } = 0$

$$ E C = E B + B C = \frac {1}{2} A B + A D, E D = E A + A D = - \frac {1}{2} A B + A D $$

所以 $\stackrel { \mathrm { U U } } { E C } \cdot \stackrel { \mathrm { U U } } { E D } = \left( \frac { 1 } { 2 } \stackrel { \mathrm { U U } } { A B } + \stackrel { \mathrm { U U } } { A D } \right) \cdot \left( - \frac { 1 } { 2 } \stackrel { \mathrm { U U } } { A B } + \stackrel { \mathrm { U U } } { A D } \right) = - \frac { 1 } { 4 } \stackrel { \mathrm { U U } } { A B } + \stackrel { \mathrm { U U } } { A D } = - 1 + 4 = 3$

**方法二**：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则 $E { \left( 1 , 0 \right) } , C { \left( 2 , 2 \right) } , D { \left( 0 , 2 \right) }$ ，可得 $\stackrel { \mathbf { u u } } { E C } = \left( 1 , 2 \right) , \stackrel { \mathbf { u u } } { E D } = \left( - 1 , 2 \right)$

所以 $\stackrel { \mathbf { u u } } { E C } \cdot \stackrel { \mathbf { u u } } { E D } = - 1 + 4 = 3$ ；

**方法三**：由题意可得： $E D = E C = \sqrt { 5 } , C D = 2$ 在 $\triangle C D E$ 中，由余弦定理可得 $\cos \angle D E C = { \frac { D E ^ { 2 } + C E ^ { 2 } - D C ^ { 2 } } { 2 D E \cdot C E } } = { \frac { 5 + 5 - 4 } { 2 \times { \sqrt { 5 } } \times { \sqrt { 5 } } } } = { \frac { 3 } { 5 } }$ 所以 $\underset { E C \cdot E D } { \mathbf { u } \equiv } \overset { \mathbf { u } \mathbf { u } \mathbf { u } } { \left| \underset { E C } { \mathbf { E } } \right| } \bigg | \overset { \mathbf { u } \mathbf { u } \mathbf { u } } { E D } \bigg | \cos \angle D E C = \sqrt { 5 } \times \sqrt { 5 } \times \frac { 3 } { 5 } = 3$

故选：B.