2011 全国高考数学 2011_退役省自主命题 (2011·理) 第 6 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

6．（5分）（2011•陕西）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\cos \mathrm{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 内（ ）

Accepted Answer

【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题；压轴题；分类讨论． 【分析】根据余弦函数的最大值为 1 ，可知函数在 $[\pi,+\infty)$ 上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间 $[0, \pi)$ 上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可。 【解答】解： $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{x}}}+\sin \mathrm{x}$ （1）当 $x \in[0 . \pi)$ 时，$\frac{1}{2 \sqrt{x}}>0$ 且 $\sin x>0$ ，故 $f^{\prime}(x)>0$ ∴ 函数在 $[0, \pi)$ 上为单调增 取 $x=\frac{\pi}{6}$ ，得 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{\frac{\pi}{6}}-\cos \frac{\pi}{6} 0$ 可得函数在区间 $(0, \pi)$ 有唯一零点 （2）当 $x \geq \pi$ 时，$\sqrt{x} \geqslant \sqrt{\pi}>1$ 且 $\cos x \leq 1$ 故函数在区间 $[\pi,+\infty)$ 上恒为正值，没有零点 综上所述，函数在区间 $[0,+\infty)$ 上有唯一零点 【点评】在 $[0,+\infty)$ 内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在。

2011 高考数学第 6 题答案解析

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