16．在V $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a \sin B=\sqrt{3} b \cos A, c-2 b=1, a=\sqrt{7}$ ．
（1） 求 $A$ 的值；
（2） 求 $c$ 的值；
（3） 求 $\sin (A+2 B)$ 的值．
参考答案
(1) $\frac{\pi}{3}$; (2) 3; (3) $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$
在V A B C 中，角 A, B, C 的对边分别为 a…——2025 高考数学第 16 题答案解析
2025_天津卷 (2025)
完整解析 · 逐步详解
【答案】①$\frac{\pi}{3}$
（2） 3
（3） $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
②由余弦定理，结合①结论与已知代入可得关于 $b$ 的方程，求解可得 $b$ ，进而求得 $c$ ；
（3）利用正弦定理先求 $B$ ，再由二倍角公式分别求 $\sin 2 B, \cos 2 B$ ，由两角和的正弦可得．
【小问 1 详解】
已知 $a \sin B=\sqrt{3} b \cos A$ ，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，
得 $a \sin B=b \sin A=\sqrt{3} b \cos A$ ，显然 $\cos A \neq 0$ ，
得 $\tan A=\sqrt{3}$ ，由 $0<A<\pi$ ，
故 $A=\frac{\pi}{3}$ ；
【小问 2 详解】
由①知 $\cos A=\frac{1}{2}$ ，且 $c=2 b+1, a=\sqrt{7}$ ，
由余弦定理 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$ ，
则 $7=b^{2}+(2 b+1)^{2}-2 \times \frac{1}{2} b(2 b+1)=3 b^{2}+3 b+1$ ，
解得 $b=1$（ $b=-2$ 舍去），
故 $c=3$ ；
【小问 3 详解】
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，且 $b=1, a=\sqrt{7}, \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
得 $\sin B=\frac{b \sin A}{a}=\frac{\sqrt{21}}{14}$ ，且 $a>b$ ，则 $B$ 为锐角，
故 $\cos B=\frac{5}{14} \sqrt{7}$ ，故 $\sin 2 B=2 \sin B \cos B=\frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，
且 $\cos 2 B=1-2 \sin ^{2} B=1-2 \times\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)^{2}=\frac{11}{14}$ ；
故 $\sin (A+2 B)=\sin A \cos 2 B+\cos A \sin 2 B=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{11}{14}+\frac{1}{2} \times \frac{5 \sqrt{3}}{14}=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ．
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