已知 a, b, c 都是正数，且 a^ 3 2 + b^…——2022 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）证明见解析

(2) 证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可.

【小问 1 详解】

证明：因为 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $a^{\frac{3}{2}} > 0$ ， $b^{\frac{3}{2}} > 0$ ， $c^{\frac{3}{2}} > 0$

所以 $\frac{a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}}{3} \geq \sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{3}{2}} \cdot c^{\frac{3}{2}}}$ ,

即 $\left(abc\right)^{\frac{1}{2}}\leq\frac{1}{3}$ ，所以 $abc\leq\frac{1}{9}$ ，当且仅当 $a^{\frac{3}{2}}=b^{\frac{3}{2}}=c^{\frac{3}{2}}$ ，即 $a=b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ 时取等号.

【小问 2 详解】

证明：因为a>0，b>0，c>0，

所以 $b + c \geq 2\sqrt{bc}$ ， $a + c \geq 2\sqrt{ac}$ ， $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，

$$ \cdot \frac {a}{b + c} \leq \frac {a}{2 \sqrt {b c}} = \frac {a ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}}, \frac {b}{a + c} \leq \frac {b}{2 \sqrt {a c}} = \frac {b ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}}, \frac {c}{a + b} \leq \frac {c}{2 \sqrt {a b}} = \frac {c ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} $$

$$ \frac {a}{b + c} + \frac {b}{a + c} + \frac {c}{a + b} \leq \frac {a ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} + \frac {b ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} + \frac {c ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} = \frac {a ^ {\frac {3}{2}} + b ^ {\frac {3}{2}} + c ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} = \frac {1}{2 \sqrt {a b c}} $$

当且仅当 $a = b = c$ 时取等号.