已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 r_1 和 r_2…——2024 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.

【详解】由题可得两个圆台的高分别为 $h_{\text{甲}} = \sqrt{\left[2(r_1 - r_2)\right]^2 - (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{3}(r_1 - r_2),$ $h_{\text{乙}} = \sqrt{\left[3(r_1 - r_2)\right]^2 - (r_1 - r_2)^2} = 2\sqrt{2}(r_1 - r_2),$

所以 $\frac{V_{\text{甲}}}{V_{\text{乙}}} = \frac{\frac{1}{3}\left(S_2 + S_1 + \sqrt{S_2S_1}\right)h_{\text{甲}}}{\frac{1}{3}\left(S_2 + S_1 + \sqrt{S_2S_1}\right)h_{\text{乙}}} = \frac{h_{\text{甲}}}{h_{\text{乙}}} = \frac{\sqrt{3}\left(r_1 - r_2\right)}{2\sqrt{2}\left(r_1 - r_2\right)} = \frac{\sqrt{6}}{4}.$

故答案为： $\frac{\sqrt{6}}{4}$ .