（12分）设函数 f(x)=1-e^ -x ． （I）证明…——2010 高考数学第 22 题答案解析

于是 $g(x)$ 在 $x=0$ 处达到最小值，因而当 $x \in R$ 时，$g(x) \geq g(0)$ 时，即 $e^{x} \geq 1+x$所以当 $x>-1$ 时，$f(x) \geq \frac{x}{x+1}$
②由题意 $x \geq 0$ ，此时 $f(x) \geq 0$
当 $a<0$ 时，若 $x>-\frac{1}{a}$ ，则 $\frac{x}{a x+1}<0, f(x) \leq \frac{x}{a x+1}$ 不成立；
当 $a \geq 0$ 时，令 $h(x)=a x f(x)+f(x)-x$ ，则
$f(x) \leq \frac{x}{a x+1}$ 当且仅当 $h(x) \leq 0$
因为 $f(x)=1-e^{-x}$ ，所以 $h^{\prime}(x)=a f(x)+a x f^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)-1=a f(x)-a x f($ x）$+a x-f(x)$
（i）当 $0 \leq a \leq \frac{1}{2}$ 时，由①知 $x \leq(x+1) f(x)$
$h^{\prime}(x) \leq a f(x)-a x f(x)+a(x+1) f(x)-f(x)$
$=(2 a-1) f(x) \leq 0$ ，
$h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 是减函数，$h(x) \leq h(0)=0$ ，即 $f(x) \leq \frac{x}{a x+1}$ ；
（ii）当 $a>\frac{1}{2}$ 时，由 $y=x-f(x)=x-1+e^{-x}$ ，
$y^{\prime}=1-e^{-x}, x>0$ 时，函数 $y$ 递增；$x<0$ ，函数 $y$ 递减．
可得 $x=0$ 处函数 $y$ 取得最小值 0 ，即有 $x \geq f(x)$ 。
$h^{\prime}(x)=a f(x)-a x f(x)+a x-f(x) \geq a f(x)-a x f(x)+a f(x)-f(x)=( 2 \mathrm{a}-1-\mathrm{ax}) \mathrm{f}(\mathrm{x})$
当 $0<x<\frac{2 a-1}{a}$ 时，$h^{\prime}(x)>0$ ，所以 $h^{\prime}(x)>0$ ，所以 $h(x)>h(0)=0$ ，即 $f (x)>\frac{x}{a x+1}$

综上， a 的取值范围是 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$
【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论 ，这也是难点之所在．