2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·理) 第 22 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

22．（12分）设函数 $f(x)=1-e^{-x}$ ．
（I）证明：当 $x>-1$ 时，$f(x) \geq \frac{x}{x+1}$ ；
（II）设当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq \frac{x}{a x+1}$ ，求 $a$ 的取值范围．

Accepted Answer

【考点】6E：利用导数研究函数的最值． 【专题】15：综合题；16：压轴题． 【分析】①将函数 $f(x)$ 的解析式代入 $f(x) \geq \frac{x}{x+1}$ 整理成 $e^{x} \geq 1+x$ ，组成新函数 $g(x)=e^{x}-x-1$ ，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数 $g(x)$ 的最小值 $g(0)$ ，进而 $g(x) \geq g(0)$ 可得证。 ②先确定函数 $f(x)$ 的取值范围，然后对 $a$ 分 $a -1$ 时，$f(x) \geq \frac{x}{x+1}$ 当且仅当 $e^{x} \geq 1+x$ 令 $g(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{x}-1$ ，则 $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-1$ 当 $x \geq 0$ 时 $g^{\prime}(x) \geq 0, g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 是增函数 当 $x \leq 0$ 时 $g^{\prime}(x) \leq 0, ~ g(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 是减函数 于是 $g(x)$ 在 $x=0$ 处达到最小值，因而当 $x \in R$ 时，$g(x) \geq g(0)$ 时，即 $e^{x} \geq 1+x$所以当 $x>-1$ 时，$f(x) \geq \frac{x}{x+1}$ ②由题意 $x \geq 0$ ，此时 $f(x) \geq 0$ 当 $a -\frac{1}{a}$ ，则 $\frac{x}{a x+1} \frac{1}{2}$ 时，由 $y=x-f(x)=x-1+e^{-x}$ ， $y^{\prime}=1-e^{-x}, x>0$ 时，函数 $y$ 递增；$x 0$ ，所以 $h^{\prime}(x)>0$ ，所以 $h(x)>h(0)=0$ ，即 $f (x)>\frac{x}{a x+1}$ 综上， a 的取值范围是 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论 ，这也是难点之所在．

2010 高考数学第 22 题答案解析

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