（23）（本小题满分 10 分）选修 $4-4$ ：坐标系与参数方程
在直角坐标系 x 0 y 中，以 0 为极点， x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 $\rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=1, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别为 C 与 x 轴， y 轴的交点。
（I）写出 C 的直角坐标方程，并求 M ， N 的极坐标；
（II）设 MN 的中点为 P ，求直线 OP 的极坐标方程。
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数…——2009 高考数学第 23 题答案解析
2009_退役省自主命题 (2009·理)
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【解答】
解：
（ I ）由 $\rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=1$ 得
$$ \rho\left(\frac{1}{2} \cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)=1 $$
从而 C 的直角坐标方程为
$$ \frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y=1 $$
即 $\quad x+\sqrt{3} y=2$
$\theta=0$ 时，$\rho=2$ ，所以 $M(2,0)$
$\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，$\rho=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，所以 $N\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$
（II） M 点的直角坐标为（ 2,0 ）
$N$ 点的直角坐标为 $\left(0, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$
所以 P 点的直角坐标为 $\left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ ，则 P 点的极坐标为 $\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\pi}{6}\right)$ ，
所以直线 OP 的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{\rho}, \rho \in(-\infty,+\infty)$
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