已知函数 f(x), g(x) 的定义域均为 R，且 f(…——2022 高考数学第 12 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】根据对称性和已知条件得到 $f(x)+f(x-2)=-2$ ，从而得到 $f(3)+f(5)+\ldots+f(21)=-10$ ， $f(4)+f(6)+\ldots+f(22)=-10$ ，然后根据条件得到 $f(2)$ 的值，再由题意得到 $g(3)=6$ 从而得到 $f(1)$ 的值即可求解.

【详解】因为 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称，

所以 $g(2-x)=g(x+2)$ ,

因为 $g(x)-f(x-4)=7$ ，所以 $g(x+2)-f(x-2)=7$ ，即 $g(x+2)=7+f(x-2)$ ,

因为 $f(x)+g(2-x)=5$ ，所以 $f(x)+g(x+2)=5$ ,

代入得 $f(x)+\left[7+f(x-2)\right]=5$ ，即 $f(x)+f(x-2)=-2$ ,

所以 $f(3)+f(5)+\ldots+f(21)=(-2)\times5=-10$ , $f(4)+f(6)+\ldots+f(22)=(-2)\times5=-10$ .

因为 $f(x)+g(2-x)=5$ ，所以 $f(0)+g(2)=5$ ，即 $f(0)=1$ ，所以 $f(2)=-2-f(0)=-3$ .

因为 $g(x)-f(x-4)=7$ ，所以 $g(x+4)-f(x)=7$ ，又因为 $f(x)+g(2-x)=5$ ,

联立得， $g(2-x)+g(x+4)=12$ ,

所以 $y=g(x)$ 的图像关于点 $(3,6)$ 中心对称，因为函数 $g(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ,

所以 $g(3)=6$ 因为 $f(x)+g(x+2)=5$ ，所以 $f(1)=5-g(3)=-1$ .

所以 $\sum_{k=1}^{22}f(k)=f(1)+f(2)+\left[f(3)+f(5)+\ldots+f(21)\right]+\left[f(4)+f(6)+\ldots+f(22)\right]=-1-3-10-10=-24$

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.