设椭圆 C : x ^ 2 a ^ 2 + y ^ 2 b…——2024 高考数学第 18 题答案解析

【答案】① $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$

（2）证明见解析

【解析】

【分析】①设F c ,0，根据M的坐标及MF ^ x轴可求基本量，故可求椭圆方程.

> ②设 AB y k x: ( 4)= - ， $A { \big ( } x _ { 1 } , y _ { 1 } { \big ) }$ $B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ ，联立直线方程和椭圆方程，用 A B, 的坐标表示$y _ { 1 } - y _ { Q }$ ，结合韦达定理化简前者可得 $y _ { 1 } - y _ { O } = 0$ ，故可证 $A Q \perp y$ 轴.

【小问 1 详解】

设 $F \big ( c , 0 \big )$ ，由题设有c =1且 ${ \frac { b ^ { 2 } } { a } } = { \frac { 3 } { 2 } }$ ，故 ${ \frac { a ^ { 2 } - 1 } { a } } = { \frac { 3 } { 2 } }$ ，故a =2，故 $b = { \sqrt { 3 } }$

故椭圆方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$

【小问 2 详解】

直线 AB 的斜率必定存在，设 AB y k x: ( 4)= - ， $A { \big ( } x _ { 1 } , y _ { 1 } { \big ) }$ $B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$

由 $\left\{ \begin{array} { l } { { 3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 1 2 } } \\ { { y = k ( x - 4 ) } } \end{array} \right.$ 可得 $\left( 3 + 4 k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } - 3 2 k ^ { 2 } x + 6 4 k ^ { 2 } - 1 2 = 0$

故 $\Delta = 1 0 2 4 k ^ { 4 } - 4 \Big ( 3 + 4 k ^ { 2 } \Big ) \Big ( 6 4 k ^ { 2 } - 1 2 \Big ) > 0$ ，故 $- \frac { 1 } { 2 } < k < \frac { 1 } { 2 }$

又 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { 3 2 k ^ { 2 } } { 3 + 4 k ^ { 2 } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { 6 4 k ^ { 2 } - 1 2 } { 3 + 4 k ^ { 2 } } ,$

而 $N \biggl ( \frac { 5 } { 2 } , 0 \biggr )$ ，故直线 $B N : y = \frac { y _ { 2 } } { x _ { 2 } - \displaystyle \frac { 5 } { 2 } } \left( x - \frac { 5 } { 2 } \right)$ ，故 $y _ { Q } = { \frac { - { \frac { 3 } { 2 } } y _ { 2 } } { x _ { 2 } - { \frac { 5 } { 2 } } } } = { \frac { - 3 y _ { 2 } } { 2 x _ { 2 } - 5 } }$

所以 $y _ { 1 } - y _ { Q } = y _ { 1 } + \frac { 3 y _ { 2 } } { 2 x _ { 2 } - 5 } = \frac { y _ { 1 } \times \left( 2 x _ { 2 } - 5 \right) + 3 y _ { 2 } } { 2 x _ { 2 } - 5 }$

$$ = \frac {k \left(x _ {1} - 4\right) \times \left(2 x _ {2} - 5\right) + 3 k \left(x _ {2} - 4\right)}{2 x _ {2} - 5} $$

$$ = k \frac {2 x _ {1} x _ {2} - 5 (x _ {1} + x _ {2}) + 8}{2 x _ {2} - 5} = k \frac {2 \times \frac {6 4 k ^ {2} - 1 2}{3 + 4 k ^ {2}} - 5 \times \frac {3 2 k ^ {2}}{3 + 4 k ^ {2}} + 8}{2 x _ {2} - 5} $$

$$ = k \frac {\frac {1 2 8 k ^ {2} - 2 4 - 1 6 0 k ^ {2} + 2 4 + 3 2 k ^ {2}}{3 + 4 k ^ {2}}}{2 x _ {2} - 5} = 0, $$

故 $y _ { 1 } = y _ { Q }$ ，即 $A Q \perp y$ 轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

> ①设直线方程，设交点坐标为 $\left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y）的一元二次方程，注意D的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为 $x _ { 1 } + x _ { 2 } \ , x _ { 1 } x _ { 2 }$ （或 $y _ { 1 } + y _ { 2 } \ , y _ { 1 } y _ { 2 } )$ 的形式；

（5）代入韦达定理求解.