2014_上海卷
20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f ( x ) = { \frac { 2 ^ { x } + a } { 2 ^ { x } - a } }$
(1) 若 a = 4 ，求函数 $y = f ( x )$ 的反函数 $y = f ^ { - 1 } ( x )$
(2) 根据a的不同取值，讨论函数 $y = f ( x )$ 的奇偶性，并说明理由.
见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【解析】： $( 1 ) : a = 4 , : f ( x ) = \frac { 2 ^ { x } + 4 } { 2 ^ { x } - 4 } = y , : 2 ^ { x } = \frac { 4 y + 4 } { y - 1 } , : x = \log _ { 2 } \frac { 4 y + 4 } { y - 1 } ,$
$$ \therefore y = f ^ { - 1 } ( x ) = \log _ { 2 } \frac { 4 x + 4 } { x - 1 } , x \in ( - \infty , - 1 ) \cup ( 1 , + \infty ) $$
（2）若 f x( )为偶函数，则 $f ( x ) = f ( - x ) , \therefore { \frac { 2 ^ { x } + a } { 2 ^ { x } - a } } = { \frac { 2 ^ { - x } + a } { 2 ^ { - x } - a } } ,$
整理得 $a ( 2 ^ { x } - 2 ^ { - x } ) = 0 , \ \div a = 0$ ，此时为偶函数
若 f x( ) 为奇函数，则 $f ( x ) = - f ( - x ) , \therefore { \frac { 2 ^ { x } + a } { 2 ^ { x } - a } } = - { \frac { 2 ^ { - x } + a } { 2 ^ { - x } - a } } ,$
整理得 $a ^ { 2 } - 1 = 0 , \ \because a \geq 0 , \ \therefore a = 1$ ，此时为奇函数
当 $a \in ( 0 , 1 ) \cup ( 1 , + \infty )$ 时，此时 f x( )既非奇函数也非偶函数