函数 y = ax ^ 2 + bx 与 y =log _…——2010 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（5分）（2010•湖南）函数 $y=a x^{2}+b x$ 与 $y=\log _{\left|\frac{b}{a}\right|} x(a b \neq 0,|a| \neq|b|)$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．

B．

C．

D．

【考点】二次函数的图象；对数函数的图像与性质．
【专题】压轴题；数形结合。
【分析】可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾 ，所以得到 A 和 B 错误；同理假设 C 和 D 的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾 ，得到C错误，D正确。
【解答】解：对于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两图，$\left|\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right|>1$ 而 $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{b} x=0$ 的两根为 0 和 $-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$ ，且两根之和为 $-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$ ，由图知 $0<-\frac{b}{a}<1$ 得 $-1<\frac{b}{a}<0$ ，矛盾，
对于 $\mathrm{C} , \mathrm{D}$ 两图， $0<\left|\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right|<1$ ，在 C 图中两根之和 $-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}<-1$ ，即 $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}>1$ 矛盾，C错，D正确．

故选：D．
【点评】考查学生会利用反证法的思想解决实际问题，要求学生掌握二次函数和对数函数的图象和性质。