2020_天津卷
12.长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为 $m _ { 1 }$ 的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时
冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为 $m _ { 2 }$ 的小球 $B .$ 与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度 $\gamma _ { \mathbb { J } g }$ ，求
（1）A受到的水平瞬时冲量I的大小；
（2）碰撞前瞬间B的动能 $E _ { \mathrm { k } }$ 至少多大？
(1) $I = m _ { 1 } { \sqrt { 5 g l } }$; (2) $E _ { \mathrm { k } } = { \frac { 5 g l { \big ( } 2 m _ { 1 } + m _ { 2 } { \big ) } ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } }$
【答案】（1） $I = m _ { 1 } { \sqrt { 5 g l } }$ ；② $E _ { \mathrm { k } } = { \frac { 5 g l { \big ( } 2 m _ { 1 } + m _ { 2 } { \big ) } ^ { 2 } } { 2 m _ { 2 } } }$
【解析】
【详解】（1）A恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A在最高点时的速度大小为v，由牛顿第二定律，有
$$ m _ { 1 } g = m _ { 1 } \frac { \nu ^ { 2 } } { l } \textcircled { 1 } $$
A从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A在最低点的速度大小为 $\nu _ { _ A }$ ，有
$$ { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } \nu _ { _ { A } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 1 } \nu ^ { 2 } + 2 m _ { 1 } g l \textcircled { 2 } $$
由动量定理，有
$$ I = m _ { 1 } \nu _ { _ A } \textcircled { 3 } $$
联立①②③式，得
$$ I = m _ { 1 } { \sqrt { 5 g l } } \textcircled { 4 } $$
> ②设两球粘在一起时速度大小为 $\nu ^ { \prime }$ ，A、B粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足
$$ \nu ^ { \prime } = \nu _ { _ { A } } \textcircled { 5 } $$
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B的速度方向相同，以此方向为正方向，设B碰前瞬间的速度大小为 $\nu _ { _ B }$ ，由动量守恒定律，有
$$ m _ { 2 } \nu _ { B } - m _ { 1 } \nu _ { A } = \left( m _ { 1 } + m _ { 2 } \right) \nu ^ { \prime } \circledast $$
又
$$ E _ { \mathrm { k } } = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 2 } \nu _ { B } ^ { 2 } { \textcircled { 7 } } $$
联立①②⑤⑥⑦式，得碰撞前瞬间B的动能 $E _ { \mathrm { k } }$ 至少为
$$ E _ { \mathrm { k } } = { \frac { 5 g l { \big ( } 2 m _ { \mathrm { 1 } } + m _ { \mathrm { 2 } } { \big ) } ^ { 2 } } { 2 m _ { \mathrm { 2 } } } } \textcircled { 8 } $$