（10分）设 a, b, c, d 均为正数，且 a+b=…——2015 高考数学第 24 题答案解析

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．
【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件 $a, b, c, d$ 均为正数，且 $a+b=c+d$ ，$a b>c d$ ，即可得证；
（2）从两方面证，（1）若 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ ，证得 $|a-b|<|c-d|$ ，（2）若 $|a-b| <|c-d|$ ，证得 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ ，注意运用不等式的性质，即可得证。

【解答】证明：（1）由于 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+b+2 \sqrt{a b}$ ，

$$ (\sqrt{c}+\sqrt{d})^{2}=c+d+2 \sqrt{c d} $$

由 $a, b, c, d$ 均为正数，且 $a+b=c+d, a b>c d$ ，
则 $\sqrt{\mathrm{ab}}>\sqrt{\mathrm{cd}}$ ，
即有 $(\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}})^{2}>(\sqrt{\mathrm{c}}+\sqrt{\mathrm{d}})^{2}$ ，
则 $\sqrt{\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{b}}>\sqrt{\mathrm{c}}+\sqrt{\mathrm{d}}$ ；
（2）（1）若 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ ，则 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}>(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{2}$ ，
即为 $a+b+2 \sqrt{a b}>c+d+2 \sqrt{c d}$ ，
由 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d}$ ，则 $\mathrm{ab}>\mathrm{cd}$ ，

于是 $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b$ ，
$(c-d)^{2}=(c+d)^{2}-4 c d$,
即有 $(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2}<(\mathrm{c}-\mathrm{d})^{2}$ ，即为 $|\mathrm{a}-\mathrm{b}|<|\mathrm{c}-\mathrm{d}|$ ；
（2）若 $|a-b|<|c-d|$ ，则 $(a-b)^{2}<(c-d)^{2}$ ，
即有 $(a+b)^{2}-4 a b<(c+d)^{2}-4 c d$,
由 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}+\mathrm{d}$ ，则 $\mathrm{ab}>\mathrm{cd}$ ，
则有 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}>(\sqrt{c}+\sqrt{d})^{2}$ 。
综上可得，$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件。
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．