2015_江苏卷 (2015)
14．（5分）（2015•江苏）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}_{\mathrm{k}}}=\left(\cos \frac{\mathrm{k} \pi}{6}, \sin \frac{\mathrm{k} \pi}{6}+\cos \frac{\mathrm{k} \pi}{6}\right)(\mathrm{k}=0,1,2, \ldots, 12$ ），则 $\sum_{k=0}^{11}\left(a_{k} \cdot a_{k+1}\right)$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．
【解答】
（5分）
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用．
分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出。
解答：解： $\overrightarrow{a_{k}} \cdot \overrightarrow{a_{k+1}}=\cos \frac{k \pi}{6} \cdot \cos \frac{(k+1) \pi}{6}+$
$$ \begin{aligned} & \left(\sin \frac{k \pi}{6}+\cos \frac{k \pi}{6}\right)\left(\sin \frac{(k+1) \pi}{6}+\cos \frac{(k+1) \pi}{6}\right) \\ = & \cos \frac{k \pi}{6} \cdot \cos \frac{(k+1) \pi}{6}+\sin \frac{k \pi}{6} \sin \frac{(k+1) \pi}{6}+\sin \frac{k \pi}{6} \cos \frac{(k+1) \pi}{6}+ \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \cos \frac{k \pi}{6} \sin \frac{(k+1) \pi}{6}+\cos \frac{k \pi}{6} \cos \frac{(k+1) \pi}{6} \\ & =\cos \frac{\pi}{6}+\sin \frac{2 k+1}{6} \pi+\frac{1}{2}\left(\cos \frac{2 k+1}{2} \pi+\cos \frac{\pi}{6}\right) \\ & =\frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin \frac{2 k+1}{6} \pi+\frac{1}{2} \cos \frac{2 k+1 \pi}{6} \\ & \therefore \sum_{k=0}^{11}\left(a_{k} \cdot a_{k+1}\right)=12 \times \frac{3 \sqrt{3}}{4}+\left(\sin \frac{\pi}{6}+\sin \frac{3 \pi}{6}+\sin \frac{5 \pi}{6}+\sin \frac{7 \pi}{6}+\sin \frac{9 \pi}{6}+\right. \\ & \left.\sin \frac{11 \pi}{6}+\sin \frac{13 \pi}{6}+\ldots+\sin \frac{23 \pi}{6}\right)+\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{6}+\cos \frac{3 \pi}{6}+\cos \frac{5 \pi}{6}+\right. \\ & \left.\cos \frac{7 \pi}{6}+\cos \frac{9 \pi}{6}+\cos \frac{11 \pi}{6}+\cos \frac{13 \pi}{6}+\ldots+\cos \frac{23 \pi}{6}\right) \\ & =9 \sqrt{3}+0+0 \\ & =9 \sqrt{3} \end{aligned} $$
故答案为： $9 \sqrt{3}$ ．
点评：本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。