记 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b…——2022 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）见解析 （2）14

【解析】

【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；

（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 $bc$ ，从而可求得 $b + c$ ，即可得解

【小问 1 详解】

证明：因为 $\sin C \sin(A - B) = \sin B \sin(C - A)$ ,

所以 $\sin C \sin A \cos B - \sin C \sin B \cos A = \sin B \sin C \cos A - \sin B \sin A \cos C$ ,

所以 $ac \cdot \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} - 2bc \cdot \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} = -ab \cdot \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$ ,

即 $\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} - (b^2 + c^2 - a^2) = -\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$ ,

所以 $2a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ;

【小问 2 详解】

解：因为 $a = 5, \cos A = \frac{25}{31}$

由（1）得 $b^{2}+c^{2}=50$ ，

由余弦定理可得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ ，

则 $50 - \frac{50}{31} bc = 25$ ,

所以 $bc=\frac{31}{2}$ ,

故 $(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc=50+31=81$ ，

所以 $b+c=9$ ，

所以 $\triangle ABC$ 的周长为 $a + b + c = 14$ .