14．（5分）（2010•北京）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动．设顶点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ）的轨迹方程是 $y=f(x)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ 4
； $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 $\_\_\_\_$ $\pi+1$ ．
参考答案$4, \pi+1$
（5分）（2010•北京）如图放置的边长为 1 的正方形…——2010 高考数学第 14 题答案解析
2010_北京卷 (2010·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】函数的性质及应用。
【分析】正方形 PABC 沿 x 轴滚动＂包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动。
【解答】解：从某一个顶点（比如A）落在 x 轴上的时候开始计算，到下一次 A 点落在 x 轴上 ，
这个过程中四个顶点依次落在了 x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长 1 ，因此该函数的周期为 4 ．
下面考察 P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，
P 点从 x 轴上开始运动的时候，首先是围绕 A 点运动 $\frac{1}{4}$ 个圆，该圆半径为 1 ，
然后以 B 点为中心，滚动到 C 点落地，其间是以 BP 为半径，旋转 $90^{\circ}$ ，
然后以 C 为圆心，再旋转 $90^{\circ}$ ，这时候以 CP 为半径，
因此最终构成图象如下：
故其与x轴所围成的图形面积为
$S=2 \times \frac{1}{4} \times \pi \times 1^{2}+\frac{1}{4} \times \pi \times(\sqrt{2})^{2}+2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1=\pi+1$.
故答案为： $4, \pi+1$
【点评】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键。
✅ 来源：2010年 · 北京 · 2010_北京卷 (2010·理) · 第 14 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验