2024_全国甲卷
18. 记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4S_{n} = 3a_{n} + 4$
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1}na_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前n项和为 $T_{n}$
(1) $a_{n} = 4 \cdot (-3)^{n - 1}$ >; (2) $T_{n} = (2n - 1)\cdot 3^{n} + 1$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】① $a_{n} = 4 \cdot (-3)^{n - 1}$
> ② $T_{n} = (2n - 1)\cdot 3^{n} + 1$
【解析】
【分析】（1）利用退位法可求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式.
(2) 利用错位相减法可求 $T_{n}$ .
【小问 1 详解】
当 $n = 1$ 时， $4S_{1} = 4a_{1} = 3a_{1} + 4$ ，解得 $a_1 = 4$ ：
当 $n \geq 2$ 时， $4S_{n-1} = 3a_{n-1} + 4$ ，所以 $4S_{n} - 4S_{n-1} = 4a_{n} = 3a_{n} - 3a_{n-1}$ 即 $a_{n} = -3a_{n-1}$ ，
而 $a_1 = 4 \neq 0$ ，故 $a_n \neq 0$ ，故 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = -3$ ，
∴数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以4为首项，-3为公比的等比数列，
所以 $a_{n} = 4 \cdot (-3)^{n - 1}$ .
【小问 2 详解】
$$ b _ {n} = (- 1) ^ {n - 1} \cdot n \cdot 4 \cdot (- 3) ^ {n - 1} = 4 n \cdot 3 ^ {n - 1}, $$
所以 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} = 4 \cdot 3^{0} + 8 \cdot 3^{1} + 12 \cdot 3^{2} + \dots + 4n \cdot 3^{n-1}$
故 $3T_{n}=4\cdot3^{1}+8\cdot3^{2}+12\cdot3^{3}+\cdots+4n\cdot3^{n}$
所以 $-2T_{n}=4+4\cdot3^{1}+4\cdot3^{2}+\cdots+4\cdot3^{n-1}-4n\cdot3^{n}$
$$ = 4 + 4 \cdot \frac {3 \left(1 - 3 ^ {n - 1}\right)}{1 - 3} - 4 n \cdot 3 ^ {n} = 4 + 2 \cdot 3 \cdot \left(3 ^ {n - 1} - 1\right) - 4 n \cdot 3 ^ {n} $$
$$ = (2 - 4 n) \cdot 3 ^ {n} - 2, $$
$$ \therefore T _ {n} = (2 n - 1) \cdot 3 ^ {n} + 1. $$