2019_北京卷 (2019·理)
16．（14分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, A D \perp C D, A D / / B C, P A= A D=C D=2, B C=3 . E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PC}}=\frac{1}{3}$ ．
（I）求证：$C D \perp$ 平面 $P A D$ ；
（II）求二面角 $F-A E-P$ 的余弦值；
（III）设点 $G$ 在 $P B$ 上，且 $\frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{3}$ ．判断直线 $A G$ 是否在平面 $A E F$ 内，说明理由．
【分析】（I）推导出 $P A \perp C D, A D \perp C D$ ，由此能证明 $C D \perp$ 平面 $P A D$ ．
（II）以 $A$ 为原点，在平面 $A B C D$ 内过 $A$ 作 $C D$ 的平行线为 $x$ 轴，$A D$ 为 $y$ 轴，$A P$ 为 $z$轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 $F-A E-P$ 的余弦值．
（III）求出 $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\left(\frac{4}{3}, 0, \frac{2}{3}\right)$ ，平面 $A E F$ 的法向量 $\vec{\Pi}=(1,1,-1), \overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}=0$ ，从而直线 $A G$ 在平面 $A E F$ 内．
【解答】证明：（I）$\because P A \perp$ 平面 $A B C D, \therefore P A \perp C D$ ，
$\because A D \perp C D, \quad P A \cap A D=A$,
$\therefore C D \perp$ 平面 $P A D$ ．
解：（II）以 $A$ 为原点，在平面 $A B C D$ 内过 $A$ 作 $C D$ 的平行线为 $x$ 轴，
$A D$ 为 $y$ 轴，$A P$ 为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，
$A(0,0,0), E(0,1,1), F\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$ ，
$P(0,0,2), B(2,-1,0)$,
$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(0,1,1), \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$ ，
平面 $A E P$ 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(1,0,0)$ ，
设平面 $A E F$ 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{\pi}}=(x, y, z)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\frac{2}{3} \mathrm{x}+\frac{2}{3} \mathrm{y}+\frac{4}{3} \mathrm{z}=0\end{array}\right.$, 取 $x=1$, 得 $\overrightarrow{\mathrm{m}}=(1,1,-1)$ ，
设二面角 $F-A E-P$ 的平面角为 $\theta$ ，
则 $\cos \theta=\frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
∴ 二面角 $F-A E-P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．
（III）直线 $A G$ 在平面 $A E F$ 内，理由如下：
∵ 点 $G$ 在 $P B$ 上，且 $\frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{PB}}=\frac{2}{3} . \therefore G\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$,
∵ 平面 $A E F$ 的法向量 $\vec{\pi}=(1,1,-1)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$,
故直线 $A G$ 在平面 $A E F$ 内．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．