（3分）（2011 • 山东）设 A _ 1 , ~A _…——2011 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（3分）（2011•山东）设 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}, \mathrm{~A}_{3}, \mathrm{~A}_{4}$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 $\overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{3}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}}(\lambda \in \mathrm{R}), \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{4}}=\mu \overrightarrow{\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}}(\mu \in \mathrm{R})$ ，且 $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=2$ ，则称 $\mathrm{A}_{3}, \mathrm{~A}_{4}$ 调和分割 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，已知点 $\mathrm{C}(\mathrm{c}, 0), \mathrm{D}(\mathrm{d}, \mathrm{O})(\mathrm{c}, \mathrm{d} \in \mathrm{R})$ 调和分割点 $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(1,0)$ ，则下面说法正确的是（）

A C 可能是线段 AB 的中点 －
B D可能是线段 AB 的中点 －
$\mathrm{C} \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 可能同时在线段 AB 上 －
D C，D不可能同时在线段 AB 的延长线上

考点：平面向量坐标表示的应用．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得到 c 和 d 的关系，$\frac{1}{\mathrm{c}}+\frac{1}{\mathrm{~d}}=2$ ，只需结合答案考查方程 $\frac{1}{\mathrm{c}}+\frac{1}{\mathrm{~d}}=2$ 的解的问题即可。
A 和 B 中方程无解， C 中由 c 和 d 的范围可推出 C 和 D 点重合，由排除法选择答案即可。
解答：解：由已知可得 $(\mathrm{c}, 0)=\lambda(1,0),(\mathrm{d}, 0)=\mu(1,0)$ ，
所以 $\lambda=c, \mu=d$ ，代入 $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=2$ 得 $\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=2$①
若 C 是线段 AB 的中点，则 $\mathrm{c}=\frac{1}{2}$ ，代入①d 不存在，故C不可能是线段 AB 的中点，A错误；同理B错误；
若 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 同时在线段 AB 上，则 $0 \leq \mathrm{c} \leq 1,0 \leq \mathrm{d} \leq 1$ ，代入①得 $\mathrm{c}=\mathrm{d}=1$ ，此时 C 和 D

点重合，与条件矛盾，故C错误。
故选D
点评：本题为新定义问题，考查信息的处理能力。正确理解新定义的含义是解决此题的关键。