已知函数 f ( x ) = sin ( 2 x + )…——2022 高考数学第 9 题答案解析

【答案】AD

【解析】

【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出

【详解】由题意得： $f { \left( { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) } { = } \sin { \left( { \frac { 4 \pi } { 3 } } { + } \varphi \right) } { = } 0$ ，所以 ${ \frac { 4 \pi } { 3 } } + \varphi = k \pi$ $k \in \mathbf { Z }$

即 $\varphi = - { \frac { 4 \pi } { 3 } } + k \pi , k \in \mathbf { Z }$

又 $0 < \varphi < \pi$ ，所以k = 2时， $\varphi = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ，故 $f ( x ) = \sin \left( 2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right)$

对A，当 $x \in \left( 0 , { \frac { 5 \pi } { 1 2 } } \right)$ 时， $2 x + \frac { 2 \pi } { 3 } \in \left( \frac { 2 \pi } { 3 } , \frac { 3 \pi } { 2 } \right)$ ，由正弦函数 $y = \sin u$ 图象知 y f x= ( ) 在 $\left( 0 , { \frac { 5 \pi } { 1 2 } } \right)$ 上是单调递减；

对B，当 $x \in \left( - \frac { \pi } { 1 2 } , \frac { 1 1 \pi } { 1 2 } \right)$ 时， $2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \in \left( { \frac { \pi } { 2 } } , { \frac { 5 \pi } { 2 } } \right)$ ，由正弦函数 $y = \sin u$ 图象知 $y = f ( x )$ 只有1个极值点，由 $2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } = { \frac { 3 \pi } { 2 } }$ ，解得 $x = \frac { 5 \pi } { 1 2 }$ ，即 $x = \frac { 5 \pi } { 1 2 }$ 为函数的唯一极值点；

对C，当 $x = \frac { 7 \pi } { 6 }$ 时， $2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } = 3 \pi$ $f ( \frac { 7 \pi } { 6 } ) = 0$ ，直线 $x = \frac { 7 \pi } { 6 }$ 不是对称轴；对D，由 $y ^ { \prime } = 2 \cos \left( 2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) = - 1$ 得： $\cos \left( 2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } \right) = - { \frac { 1 } { 2 } }$ 解得 $2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } = { \frac { 2 \pi } { 3 } } + 2 k \pi$ 或 $2 x + { \frac { 2 \pi } { 3 } } = { \frac { 4 \pi } { 3 } } + 2 k \pi , k \in \mathbf { Z }$ 从而得：x k= π 或 $x = { \frac { \pi } { 3 } } + k \pi , k \in \mathbf { Z }$ 所以函数y f x= ( )在点 $\left( 0 , \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right)$ 处的切线斜率为 $k = y ^ { \prime } { \big | } _ { x = 0 } = 2 \cos { \frac { 2 \pi } { 3 } } = - 1$ 切线方程为： $y - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = - ( x - 0 )$ 即 $y = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } - x$ 故选：AD