2013_退役省自主命题 (2013·理)
20．（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $\mathrm{P}\left(1 . \frac{3}{2}\right)$，离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $\mathrm{x}=4$．
（1）求椭圆 C 的方程；
② AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P ），设直线 AB 与直线 1 相交于点 M，记 PA， $\mathrm{PB}, \mathrm{PM}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$。问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_{1}+k_{2}=\lambda k_{3}$ ？若存在，
求 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．
(1) $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$; (2) 存在
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】①$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$（2）存在
【解析】①由 $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在椭圆上得：$\frac{1}{a^{2}}+\frac{9}{4 b^{2}}=1$
> ①$\because a=2 c, \therefore b^{2}=3 c^{2}$
> （2）代入①得 $c^{2}=1, a^{2}=4, b^{2}=3, \therefore$ 椭圆 $C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。
> ②设 $B\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} \neq 1\right)$，则直线 $B F$ 方程为：$y=\frac{y_{0}}{x_{0}-1}(x-1)$，令 $x=4$ 得 $M\left(4, \frac{3 y_{0}}{x_{0}-1}\right)$，
$\therefore \mathrm{PM}$ 的斜率 $\mathrm{k}_{3}=\frac{2 y_{0}-x_{0}+1}{2\left(x_{0}-1\right)}$ 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y_{0}}{x_{0}-1}(x-1) \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$ 得：$\left.A \frac{5 x_{0}-8}{2 x_{0}-5}, \frac{3 y_{0}}{2 x_{0}-5}\right)$．
$\therefore \mathrm{k}_{1}=\frac{2 y_{0}-2 x_{0}+5}{2\left(x_{0}-1\right)}, k_{2}=\frac{2 y_{0}-3}{2\left(x_{0}-1\right)}, \therefore k_{1}+k_{2}=-\frac{2 y_{0}-2 x_{0}+5}{2\left(x_{0}-1\right)}+\frac{2 y_{0}-3}{2\left(x_{0}-1\right)}=\frac{2 y_{0}-x_{0}+1}{x_{0}-1}$．
故存在 $\lambda=2$ 符合题意
先通过联立方程组求点的坐标，再计算斜率，化简后得到 $\lambda$ 的值。本解法适用于一般的直线和圆锥曲线的关系问题。也可以设 A， B 两点坐标，由根与系数的关系结合已知直线方程表示斜率，通过化简求解．
【考点定位】本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力。