2010_退役省自主命题 (2010·理)
9．给出下列三个命题：
①函数 $y=\frac{1}{2} \ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ 是同一函数；
②若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f(2 x)$ 与 $y=\frac{1}{2} g(x)$ 的图像也关于直线 $y=x$ 对称；
③若奇函数 $f(x)$ 对定义域内任意 x 都有 $f(x)=f(2-x)$ ，则 $f(x)$ 为周期函数。其中真命题是
【解答】
给出下列三个命题：
（1）函数 $y=\frac{1}{2} \ln \frac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 与 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$ 是同一函数；
（2）若函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则函数 $y=f(2 x)$ 与 $y=\frac{1}{2} g(x)$ 的图像也关于直线 $y=x$ 对称；
（3）若奇函数 $f(x)$ 对定义域内任意 x 都有 $f(x)=f(2-x)$ ，则 $f(x)$ 为周期函数。其中真命题是
A．（1）②
B．（1）③
C．（2）③
D．（2）
【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，（1）错误；排除 A、B，验证（3），$f(-x)=f[2-(-x)]=f(2+x)$ ，又通过奇函数得 $f(-x)=-f(x)$ ，所以 f （x）是周期为 2 的周期函数，选择 C。