若函数 y=f(x) 是函数 y= a ^ x (a>0，…——2009 高考数学第 2 题答案解析

【解答】
（5分）（2009•广东）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是函数 $\mathrm{y}=\mathrm{a}^{\mathrm{x}-\mathrm{a}} ~(\mathrm{a}>0$ ，且 $\mathrm{a} \neq 1)$ 的反函数，且 f （ $\left.\frac{1}{2}\right)=1$ ，则函数 $\mathrm{y}=~(\quad)$
A． $\log _{2} \mathrm{x}$ B．$\frac{1}{2^{\mathrm{x}}}$
C． $\log _{\frac{1}{2}} \mathrm{x}$
D． $2^{\mathrm{x}-2}$

【考点】反函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由 $\mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right)=1$ 可得 $\mathrm{f}^{-1}(1)=\frac{1}{2}$ ，即 $\mathrm{a}^{1-\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$ ，解出 a 的值，即得函数 y 的解析式．
【解答】解：$\because f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，
$\therefore \mathrm{f}^{-1}(1)=\frac{1}{2}$ ，
由题意知 $\mathrm{a}^{1-\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$ ，
$\therefore \mathrm{a}=2$ ，
$y=a^{x-a}(a>0$ ，且 $a \neq 1) y=2^{x-2}$ ，
故选 D．
【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法，函数与反函数的关系．