设函数 f(x) = e ^x + 2sin x 1 +…——2024 高考数学第 6 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 $(0,1)$ 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.
【详解】 $f'(x)=\frac{\left(\mathrm{e}^{x}+2\cos x\right)\left(1+x^{2}\right)-\left(\mathrm{e}^{x}+2\sin x\right)\cdot2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$ ,
则 $f'(0)=\frac{\left(\mathrm{e}^{0}+2\cos0\right)(1+0)-\left(\mathrm{e}^{0}+2\sin0\right)\times0}{\left(1+0\right)^{2}}=3$ 即该切线方程为 $y-1=3x$ ，即 $y=3x+1$ ，
令 x=0 ，则 y=1 ，令 y=0 ，则 $x=-\frac{1}{3}$ ，

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 $S=\frac{1}{2}\times1\times\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{6}$ .

故选：A.