14．（5分）（2011•陕西）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 $\_\_\_\_$ 2000 （米）。
参考答案2000
（5分）（2011•陕西）植树节某班 20 名同学在一段直…——2011 高考数学第 14 题答案解析
2011_退役省自主命题 (2011·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】等差数列的前 n 项和。
【专题】应用题；压轴题．
【分析】设在第 n 棵树旁放置所有树苗，利用等差数列求和公式，得出领取树苗往返所走的路程总和 $f(n)$ 的表达式，再利用二次函数求最值的公式，求出这个最值。
【解答】解：记公路一侧所植的树依次记为第 1 棵、第 2 棵、第 3 棵、…、第 20 棵
设在第 n 棵树旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为 $\mathrm{f}(\mathrm{n}) ~(\mathrm{n}$ 为正整数）
则 $\frac{1}{2} \mathrm{f}(\mathrm{n})=[10+20+\ldots+10(\mathrm{n}-1)]+[10+20+\ldots+10(20-\mathrm{n})]$
$=10[1+2+\ldots+(n-1)]+10[1+2+\ldots+(20-n)]$
$=5\left(\mathrm{n}^{2}-\mathrm{n}\right)+5(20-\mathrm{n})(21-\mathrm{n})$
$=5\left(\mathrm{n}^{2}-\mathrm{n}\right)+5\left(\mathrm{n}^{2}-41 \mathrm{n}+420\right)$
$=10 \mathrm{n}^{2}-210 \mathrm{n}+2100$ ，
$\therefore \mathrm{f}(\mathrm{n})=20\left(\mathrm{n}^{2}-21 \mathrm{n}+210\right)$ ，相应的二次函数图象关于 $\mathrm{n}=10.5$ 对称，
结合 $n$ 为整数，可得当 $n=10$ 或 11 时，$f(n)$ 的最小值为 2000 米．
故答案为： 2000
【点评】本题利用数列求和公式，建立函数模型，再用二次函数来解题，属于常见题型．
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