2013_省自主命题（安徽）
（18）（本小题满分12分）
设椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 - a ^ { 2 } } = 1$ 的焦点在x轴上
（I）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（ⅡI）设 $F _ { 1 } , \ F _ { 2 }$ 分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线 $F _ { 2 } P$ 交y轴与点Q，并且 $F _ { 1 } P \bot F _ { 1 } Q$，证明：当a变化时，点P在某定直线上.
> ① 由题意 $2 c = 1$，得 $c = \frac { 1 } { 2 }$ 而 $a ^ { 2 } - ( 1 - a ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 }$，所以 $a ^ { 2 } = \frac { 5 } { 8 } , b ^ { 2 } = \frac { 3 } { 8 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】
> ① 由题意 $2 c = 1$，得 $c = \frac { 1 } { 2 }$
而 $a ^ { 2 } - ( 1 - a ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 }$，所以 $a ^ { 2 } = \frac { 5 } { 8 } , b ^ { 2 } = \frac { 3 } { 8 }$
所以椭圆的标准方程为
$$ \frac { 8 x ^ { 2 } } { 5 } + \frac { 8 y ^ { 2 } } { 3 } = 1 $$
> ② 设 $P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } > 0 , y _ { 0 } > 0 , F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$
直线 ${ \cal P } { \cal F } _ { 2 }$ 的直线方程为 $\frac { y } { y _ { 0 } } = \frac { x - c } { x _ { 0 } - c }$，当 $x = 0$ 时， $\scriptstyle \gamma = { \frac { - c } { x _ { 0 } - c } } \cdot y _ { 0 } .$
故Q点坐标 $( 0 , \frac { - c } { x _ { 0 } - c }$
由题意 ${ \overline { { F _ { 1 } { \cal P } } } } . { \overline { { F _ { 1 } { \cal Q } } } } = 0$
得 $( x _ { 0 } + c , y _ { 0 } ) \cdot ( c , \cfrac { - c } { x _ { 0 } - c } y _ { 0 } ) = 0$
即 $( x _ { 0 } + c ) c - \frac { { c y _ { 0 } } ^ { 2 } } { x _ { 0 } - c } = 0$
解得 ${ y _ { 0 } } ^ { 2 } = { x _ { 0 } } ^ { 2 } - c ^ { 2 } = { x _ { 0 } } ^ { 2 } - ( 2 a ^ { 2 } - 1 )$
又P点在曲线上， $\frac { { x _ { 0 } } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { { y _ { 0 } } ^ { 2 } } { 1 - a ^ { 2 } } = 1$ ·解得 $x _ { \circ } = a ^ { 2 } , y _ { \circ } = : - a ^ { 2 }$
则P点在定直线 $x + y = 1$
【解析】根据题意确定c的大小，以及 $a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$ 可以很快求出椭圆E的方程，但容易弄混长轴长（2a）、短轴长（2b）和焦距（2c）的概念，简单题，第（2）属于定直线问题，对于定直线问题，需要根据题意确定动点的坐标，再确定动点横纵坐标的关系，其实是变向的考查求动点P的轨迹方程问题，本题可以设出P点的坐标，根据垂直关系，利用向量或斜率求出P的坐标关系式再利用P在圆锥曲线上，即可求出P点坐标，继而能够确定P点在定直线上，属于中档题【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线与直线，直线与椭圆的位置关系