## 18.（本小题满分16分） 如图，一个湖的边界是圆心…——2019 高考数学第 18 题答案解析

建立平面直角坐标系求解。以圆心 $O$ 为原点，过 $O$ 且垂直于直线 $l$ 的直线为 $y$ 轴，平行于 $l$ 的直线为 $x$ 轴。
由题意，圆 $O$ 半径 $R = \frac{1}{2}AB = 5$，方程为 $x^2 + y^2 = 25$。
因为 $AC=6, BD=12$，且 $A, B$ 在圆上，设 $A(x_A, y_A), B(x_B, y_B)$。
由于 $AB$ 是直径，$A, B$ 关于原点对称。
点 $A, B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $6, 12$。设直线 $l$ 的方程为 $y=h (h>0)$。
则 $h - y_A = 6, h - y_B = 12$。
又 $y_B = -y_A$，代入得 $h - y_A = 6, h + y_A = 12$。
解得 $2h = 18 \Rightarrow h=9$，即直线 $l: y=9$。
进而 $y_A = 3, y_B = -3$。
代入圆方程：$x_A^2 + 3^2 = 25 \Rightarrow x_A = \pm 4$。
由图示，$B$ 在左下方，$A$ 在右上方（或根据 $D, C$ 相对位置），不妨设 $B(-4, -3), A(4, 3)$。
此时 $C$ 为 $A$ 在 $l$ 上的垂足，坐标为 $(4, 9)$；$D$ 为 $B$ 在 $l$ 上的垂足，坐标为 $(-4, 9)$。

（1）若道路 $PB \perp AB$，求 $PB$ 长。
直线 $AB$ 斜率 $k_{AB} = \frac{3 - (-3)}{4 - (-4)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。
因为 $PB \perp AB$，所以 $k_{PB} = -\frac{4}{3}$。
直线 $PB$ 过点 $B(-4, -3)$，方程为 $y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - (-4))$，即 $y = -\frac{4}{3}x - \frac{25}{3}$。
令 $y=9$，得 $9 = -\frac{4}{3}x - \frac{25}{3} \Rightarrow 27 = -4x - 25 \Rightarrow 4x = -52 \Rightarrow x = -13$。
所以 $P(-13, 9)$。
$PB = \sqrt{(-13 - (-4))^2 + (9 - (-3))^2} = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$。
故道路 $PB$ 的长为 15 百米。

（2）判断 $P, Q$ 能否选在 $D$ 处。
规划要求：线段上所有点到 $O$ 距离 $\ge 5$。
① 若 $P$ 选在 $D(-4, 9)$：
线段 $DB$ 连接 $D(-4, 9)$ 和 $B(-4, -3)$。
线段 $DB$ 上点的横坐标均为 $-4$，纵坐标 $y \in [-3, 9]$。
取线段 $DB$ 上一点 $E(-4, 0)$，其到原点距离 $OE = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4 < 5$。
不满足要求，故 $P$ 不能选在 $D$ 处。
② 若 $Q$ 选在 $D(-4, 9)$：
线段 $DA$ 连接 $D(-4, 9)$ 和 $A(4, 3)$。
直线 $DA$ 方程：$\frac{y-3}{9-3} = \frac{x-4}{-4-4} \Rightarrow y-3 = -\frac{3}{4}(x-4) \Rightarrow y = -\frac{3}{4}x + 6$。
原点 $O$ 到直线 $DA$ 的距离 $d_O = \frac{|0 + 0 - 6|}{\sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + 1}} = \frac{6}{\frac{5}{4}} = \frac{24}{5} = 4.8 < 5$。
垂足 $H$ 的横坐标 $x_H$ 满足 $y_H = \frac{4}{3}x_H$（垂线斜率 $4/3$），联立 $y = -\frac{3}{4}x + 6$ 解得 $x_H = \frac{72}{25} = 2.88$。
因为 $x_D = -4, x_A = 4$，且 $-4 < 2.88 < 4$，所以垂足在线段 $DA$ 内部。
即线段 $DA$ 上存在点到 $O$ 距离小于 5。
不满足要求，故 $Q$ 不能选在 $D$ 处。
综上，$P$ 和 $Q$ 均不能选在 $D$ 处。

（3）求 $d$ 最小时 $P, Q$ 间距离。
$d = PB = QA$。
首先确定 $P, Q$ 的可行范围。
对于线段 $PB$，若要使线段上所有点到 $O$ 距离 $\ge 5$，需 $\angle OBP \ge 90^\circ$（否则 $O$ 到 $PB$ 的垂线段长度小于 $OB=5$ 且垂足落在线段内，或者端点 $B$ 处切线方向限制）。
向量 $\vec{BO} = (4, 3)$。设 $P(x_P, 9)$。
$\vec{BP} = (x_P + 4, 12)$。
$\vec{BO} \cdot \vec{BP} \le 0 \Rightarrow 4(x_P + 4) + 3(12) \le 0 \Rightarrow 4x_P + 16 + 36 \le 0 \Rightarrow 4x_P \le -52 \Rightarrow x_P \le -13$。
当 $x_P = -13$ 时，$PB \perp AB$，此时 $PB$ 最短，长度为 15。
当 $x_P < -13$ 时，$PB > 15$。
故要使 $d$ 最小，$P$ 应取 $x_P = -13$，此时 $d_{min} = 15$，$P(-13, 9)$。

对于线段 $QA$，同理需 $\angle OAQ \ge 90^\circ$。
向量 $\vec{AO} = (-4, -3)$。设 $Q(x_Q, 9)$。
$\vec{AQ} = (x_Q - 4, 6)$。
$\vec{AO} \cdot \vec{AQ} \le 0 \Rightarrow -4(x_Q - 4) - 3(6) \le 0 \Rightarrow -4x_Q + 16 - 18 \le 0 \Rightarrow -4x_Q \le 2 \Rightarrow x_Q \ge -\frac{1}{2}$。
同时题目要求 $QA = d = 15$。
$QA^2 = (x_Q - 4)^2 + (9 - 3)^2 = 15^2 = 225$。
$(x_Q - 4)^2 + 36 = 225 \Rightarrow (x_Q - 4)^2 = 189$。
$x_Q - 4 = \pm \sqrt{189} = \pm 3\sqrt{21}$。
$x_Q = 4 \pm 3\sqrt{21}$。
因为 $x_Q \ge -0.5$，且 $4 - 3\sqrt{21} \approx 4 - 13.7 < 0$（具体验证：$3\sqrt{21} = \sqrt{189} > \sqrt{169}=13$，故 $4-3\sqrt{21} < -9 < -0.5$，舍去）。
所以 $x_Q = 4 + 3\sqrt{21}$。
此时 $Q(4 + 3\sqrt{21}, 9)$。
检查是否满足角度条件：$4 + 3\sqrt{21} > -0.5$，满足。
此时 $P, Q$ 都在直线 $y=9$ 上。
$PQ = x_Q - x_P = (4 + 3\sqrt{21}) - (-13) = 17 + 3\sqrt{21}$。

故当 $d$ 最小时，$P, Q$ 两点间的距离为 $17 + 3\sqrt{21}$ 百米。