## 18.（本小题满分16分） 如图，一个湖的边界是圆心…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）15（百米）；

（2）见解析；

> ③ $1 7 + 3 \sqrt { 2 1 }$ （百米）.

【解析】

【分析】

解：解法一：

（1）过A作 $A E \bot B D$ ，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；

（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.

（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离.

解法二：

（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；

（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.

（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离.

【详解】解法一：

（1）过A作 $A E \bot B D$ ，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形， $D E = B E = A C = 6 , A E = C D = 8 .$

因为 $| P B \bot A B$

所以 $\cos \angle P B D = \sin \angle A B E = \frac { 8 } { 1 0 } = \frac { 4 } { 5 }$

所以 $P B = \frac { B D } { \cos \angle P B D } = \frac { 1 2 } { \frac { 4 } { 5 } } = 1 5$

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求

②若Q在D处，连结AD，由（1）知 $A D = \sqrt { A E ^ { 2 } + E D ^ { 2 } } = 1 0$

从而 $\cos \angle B A D = \frac { A D ^ { 2 } + A B ^ { 2 } - B D ^ { 2 } } { 2 A D \cdot A B } = \frac { 7 } { 2 5 } > 0$ ，所以 $\angle B A D$ 为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此，Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当 $\angle O B P { < } 9 0 ^ { \circ } |$ 时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当 $\angle O B P { \geq } 9 0 ^ { \circ } |$ 时，对线段PB上任意一点F， $O F { \ge } O B$ ，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求

设 $\boldsymbol { a } ^ { x + y } = \boldsymbol { M } \cdot \boldsymbol { N }$ 为l上一点，且 $P _ { 1 } B \perp A B$ ，由（1）知， $P _ { 1 } B = 1 5$

此时 $P _ { 1 } D = P _ { 1 } B \sin \angle P _ { 1 } B D = P _ { 1 } B \cos \angle E B A = 1 5 \times { \frac { 3 } { 5 } } = 9$

当 $\angle O B P { > } 9 0 ^ { \circ }$ 时，在 $\triangle P P B$ 中， $P B > P _ { 1 } B = 1 5$

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，

$C Q = { \sqrt { Q A ^ { 2 } - A C ^ { 2 } } } = { \sqrt { 1 5 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } } = 3 { \sqrt { 2 1 } }$ 此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且 $C Q { = } 3 \sqrt { 2 1 }$ 时，d最小，此时P，Q两点间的距离 $P Q { = } P D { + } C D { + } C Q { = }$ $1 7 + 3 { \sqrt { 2 1 } }$

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 $1 7 + 3 { \sqrt { 2 1 } }$ （百米）.

解法二：

（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，-3.

因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 5$

从而A（4，3），B（-4，-3），直线AB的斜率为 $\frac 3 4$

因为 $P B \bot A B$ ，所以直线PB的斜率为 $- { \frac { 4 } { 3 } }$ ，

直线PB的方程为 $y = - \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 2 5 } { 3 }$

所以P（-13，9）， $P B = \sqrt { \left( - 1 3 + 4 \right) ^ { 2 } + \left( 9 + 3 \right) ^ { 2 } } = 1 5$

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（-4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（-4，9），又A（4，3），

所以线段AD: $y = - { \frac { 3 } { 4 } } x + 6 ( - 4 , x , 4 )$

在线段AD上取点M（3， ${ \frac { 1 5 } { 4 } } )$ ，因为 $O M = \sqrt { 3 ^ { 2 } + \left( \frac { 1 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } } < \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = 5$

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当 $\angle O B P { < } 9 0 ^ { \circ } { \sf H }$ 付，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当 $\angle O B P { \ge } 9 0 ^ { \circ } \sharp$ 寸，对线段PB上任意一点F， $O F { \ge } O B$ ，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设 $\boldsymbol { a } ^ { x + y } = \boldsymbol { M } \cdot \boldsymbol { N }$ 为l上一点，且 $P _ { 1 } B \perp A B$ ，由（1）知， $P _ { 1 } B = 1 5$ ，此时 $P _ { 1 } \left( - 1 3 , 9 \right)$

当 $\angle O B P { > } 9 0 ^ { \circ } \mathbb { H }$ 寸，在 $\triangle P P _ { 1 } B$ 中， $P B > P _ { 1 } B = 1 5$

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.

当QA=15时，设Q（a，9），由 $A Q = { \sqrt { ( a - 4 ) ^ { 2 } + ( 9 - 3 ) ^ { 2 } } } = 1 5 ( a > 4 )$

得 $\scriptstyle \cdot a = 4 + 3 { \sqrt { 2 1 } }$ ，所以 $\mathcal { Q } \ ( \ 4 + 3 \sqrt { 2 1 } \ , \ 9 )$ ，此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（-13，9）， $\mathcal { Q } \ ( \ 4 + 3 \sqrt { 2 1 }$ ，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

$$ P Q = 4 + 3 { \sqrt { 2 1 } } - ( - 1 3 ) = 1 7 + 3 { \sqrt { 2 1 } } . $$

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 $1 7 + 3 { \sqrt { 2 1 } }$ （百米）.

【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.