（5分）已知函数 f(x)=2 sin x+sin 2 x…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用； 56 ：三角函数的求值．

【分析】由题意可得 $T=2 \pi$ 是 $f(x)$ 的一个周期，问题转化为 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi)$ 上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．

【解答】解：由题意可得 $T=2 \pi$ 是 $f(x)=2 \sin x+\sin 2 x$ 的一个周期，
故只需考虑 $f(x)=2 \sin x+\sin 2 x$ 在 $[0,2 \pi)$ 上的值域，
先来求该函数在 $[0,2 \pi)$ 上的极值点，
求导数可得 $f^{\prime}(x)=2 \cos x+2 \cos 2 x$
$=2 \cos x+2\left(2 \cos ^{2} x-1\right)=2(2 \cos x-1)(\cos x+1)$,
令 $f^{\prime}(x)=0$ 可解得 $\cos x=\frac{1}{2}$ 或 $\cos x=-1$ ，
可得此时 $x=\frac{\pi}{3}, \pi$ 或 $\frac{5 \pi}{3}$ ；
$\therefore \mathrm{y}=2 \sin \mathrm{x}+\sin 2 \mathrm{x}$ 的最小值只能在点 $\mathrm{x}=\frac{\pi}{3}, \pi$ 或 $\frac{5 \pi}{3}$ 和边界点 $\mathrm{x}=0$ 中取到，
计算可得 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3 \sqrt{3}}{2}, f(\pi)=0, f\left(\frac{5 \pi}{3}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}, f(0)=0$ ，
∴ 函数的最小值为 $-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，
故答案为：$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题。