2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（10分）$	riangle \mathrm{ABC}$ 中， D 为边 BC 上的一点， $\mathrm{BD}=33, \sin \mathrm{~B}=\frac{5}{13}, \cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{3}{5}$ ，求AD。

Accepted Answer

【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理． 【分析】先由 $\cos \angle A D C=\frac{3}{5}$ 确定角 $A D C$ 的范围，因为 $\angle B A D=\angle A D C-B$ 所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案。 【解答】解：由 $\cos \angle A D C=\frac{3}{5}>0$ ，则 $\angle A D C<\frac{\pi}{2}$ ， 又由知 $\mathrm{B}<\angle \mathrm{ADC}$ 可得 $\mathrm{B}<\frac{\pi}{2}$ ， 由 $\sin \mathrm{B}=\frac{5}{13}$ ，可得 $\cos \mathrm{B}=\frac{12}{13}$ ， 又由 $\cos \angle A D C=\frac{3}{5}$ ，可得 $\sin \angle A D C=\frac{4}{5}$ ． 从而 $\sin \angle B A D=\sin (\angle A D C-B)=\sin \angle A D C \cos B-\cos \angle A D C \sin B=\frac{4}{5} 	imes \frac{12}{13}-\frac{3}{5} 	imes \frac{5}{13}= \frac{33}{65}$. 由正弦定理得 $\frac{\mathrm{AD}}{\sin \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{BAD}}$ ， 所以 $\mathrm{AD}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{sin} \mathrm{B} \mathrm{D}}=\frac{33 	imes \frac{5}{13}}{\frac{33}{65}}=25$ ． 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化．

2010 高考数学第 17 题答案解析

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