如图，在 A B C 中，D是BC的中点，E在边AB上，B…——2019 高考数学第 12 题答案解析

【答案】 $\sqrt { 3 }$

【解析】

【分析】

由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值

【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知 $B { \cal F } = { \cal F } { \cal E } = { \cal E } A , A O = O D$

$$ 6 { \overrightarrow { A O } } \bullet { \overrightarrow { E C } } = 3 { \overrightarrow { A D } } \bullet \left( { \overrightarrow { A C } } - { \overrightarrow { A E } } \right) = { \frac { 3 } { 2 } } { \Big ( } { \overrightarrow { A B } } + { \overrightarrow { A C } } { \Big ) } \bullet { \Big ( } { \overrightarrow { A C } } - { \overrightarrow { A E } } { \Big ) } $$

$$ = \frac { 3 } { 2 } \Big ( \overrightarrow { A B } + \overrightarrow { A C } \Big ) \bullet \left( \overrightarrow { A C } - \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } \right) = \frac { 3 } { 2 } \Bigg ( \overrightarrow { A B } \bullet \overrightarrow { A C } - \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } ^ { 2 } + \overrightarrow { A C } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { A B } \bullet \overrightarrow { A C } \Bigg ) $$

$$ = { \frac { 3 } { 2 } } { \Bigg ( } { \frac { 2 } { 3 } } { \overrightarrow { A B } } \bullet { \overrightarrow { A C } } - { \frac { 1 } { 3 } } { \overrightarrow { A B } } ^ { 2 } + { \overrightarrow { A C } } ^ { 2 } { \Bigg ) } = { \overrightarrow { A B } } \bullet { \overrightarrow { A C } } - { \frac { 1 } { 2 } } { \overrightarrow { A B } } ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } { \overrightarrow { A C } } ^ { 2 } = { \overrightarrow { A B } } \bullet { \overrightarrow { A C } } \ , $$

得 ${ \frac { 1 } { 2 } } { \overrightarrow { A B } } ^ { 2 } = { \frac { 3 } { 2 } } { \overrightarrow { A C } } ^ { 2 }$ ,即 $\left| { \overrightarrow { A B } } \right| = { \sqrt { 3 } } \left| { \overrightarrow { A C } } \right|$ ,故 ${ \frac { A B } { A C } } = { \sqrt { 3 } }$

【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题