（5 分）直线 y=x 被圆 x^ 2 +(y-2)^ 2…——2012 高考数学第 9 题答案解析

【考点】 J 8 ：直线与圆相交的性质．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．

【解答】解：圆 $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ 的圆心坐标为 $(0,2)$ ，半径为 2
∵ 圆心到直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 的距离为 $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
∴ 直线 $y=x$ 被圆 $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{4-2}=2 \sqrt{2}$
故答案为： $2 \sqrt{2}$
【点评】本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线 $y=x$ 的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．