2022_北京卷
14. 设函数 $f { \big ( } x { \big ) } = { \left\{ \right.} { \begin{array} { l l } { - a x + 1 , } & { x < a , } \\ { \left( x - 2 \right) ^ { 2 } , } & { x \geq a . } \end{array} } $ 若f x( ) 存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1【解析】
0（答案不唯一），1
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【分析】根据分段函数中的函数y ax = - +1的单调性进行分类讨论，可知，a =0符合条件，a<0不符合条件，a >0时函数y ax=- +1没有最小值，故f x( )的最小值只能取$y = ( x - 2 ) ^ { 2 }$ 的最小值，根据定义域讨论可知 $- a ^ { 2 } + 1 \geq 0$ 或 $- a ^ { 2 } + 1 \geq { \left( a - 2 \right) } ^ { 2 }$ 解得$0 < a \leq 1$ 【详解】解：若a =0时， $f ( x ) = \{ \ L _ { ( x - 2 ) ^ { 2 } , x \geq 0 } ^ { 1 } , \ \ L _ { \cdot } f ( x ) _ { \mathrm { m i n } } = 0$ 若a < 0时，当x a< 时， $f ( x ) = - a x + 1$ 单调递增，当x®-¥ 时， $f ( x ) - \infty$ ，故 f x( )没有最小值，不符合题目要求；若 $a > 0$ 时，当 x a< 时， $f ( x ) = - a x + 1$ 单调递减， $f ( x ) > f ( a ) = - a ^ { 2 } + 1$ 当 $x > a$ 时， $f ( x ) _ { \mathrm { m i n } } = \{ \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { ( 0 < a < 2 ) \nonumber } } \\ { { ( a - 2 ) ^ { 2 } } } & { { ( a \geq 2 ) } } \end{array}$ $\therefore - a ^ { 2 } + 1 \geq 0 \not \equiv \not \equiv - a ^ { 2 } + 1 \geq ( a - 2 ) ^ { 2 }$ 解得 $0 < a \leq 1$ 综上可得 $0 \leq a \leq 1$ ；故答案为：0（答案不唯一），1