（本小题满分14分） 在 A B C 中，角A，B，C的对…——2019 高考数学第 15 题答案解析

【答案】（1） $c = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ; \quad ( 2 ) \ \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$

【解析】

【分析】

> ①由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；

> ②由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cosB的值，然后由诱导公式可得 $\sin ( B + { \frac { \pi } { 2 } } )$ 的值.

【详解】（1）因为 $a = 3 c , b = { \sqrt { 2 } } , \cos B = { \frac { 2 } { 3 } }$

由余弦定理 $\cos B = { \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a c } }$ ，得 $\frac { 2 } { 3 } = \frac { ( 3 c ) ^ { 2 } + c ^ { 2 } - ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \times 3 c \times c }$ ，即 $c ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 }$

所以 $c = { \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } }$

(2) 因为 ${ \frac { \sin A } { a } } = { \frac { \cos B } { 2 b } }$

由正弦定理 ${ \frac { a } { \sin A } } = { \frac { b } { \sin B } }$ ，得 ${ \frac { \cos B } { 2 b } } = { \frac { \sin B } { b } }$ ，所以 $\cos B = 2 \sin B$

从而 $\cos ^ { 2 } B = ( 2 \sin B ) ^ { 2 }$ ，即 $\cos ^ { 2 } B = 4 { \Big ( } 1 - \cos ^ { 2 } B { \Big ) }$ ，故 $\cos ^ { 2 } B = { \frac { 4 } { 5 } }$

因为 $\sin B > 0$ ，所以 $\cos B = 2 \sin B > 0$ ，从而 $\cos B = { \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$

因此 $\sin ( B + { \frac { \pi } { 2 } } ) = \cos B = { \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.