在 V A B C 中， cos A=- 1 3 , a…——2025 高考数学第 16 题答案解析

（1）由 $\cos A = -\frac{1}{3}$ 且 $A \in (0, \pi)$，可得：
$$ \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$
根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$，即 $a \sin C = c \sin A$。
已知 $a \sin C = 4\sqrt{2}$，代入得：
$$ c \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2} $$
解得 $c = 6$。

（2）设 $BC$ 边上的高为 $h$。

**若选择条件①：$a=6$**
由（1）知 $c=6$，故 $a=c$，则 $\triangle ABC$ 为等腰三角形，有 $C=A$。
因为 $\cos A = -\frac{1}{3} < 0$，所以 $A$ 为钝角。
若 $C=A$，则 $C$ 也为钝角。三角形中不可能有两个钝角，故此时 $\triangle ABC$ 不存在，无法求高。

**若选择条件②：$a \sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}$**
由正弦定理 $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，可得 $b \sin C = c \sin B$，即 $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c}$。
又由已知 $a \sin C = 4\sqrt{2}$ 和条件 $a \sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}$，两式相除得：
$$ \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{a \sin B}{a \sin C} = \frac{\frac{10\sqrt{2}}{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{5}{6} $$
所以 $\frac{b}{c} = \frac{5}{6}$。因为 $c=6$，所以 $b=5$。
由余弦定理求边 $a$：
$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 5^2 + 6^2 - 2 \times 5 \times 6 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 + 36 + 20 = 81 $$
解得 $a=9$。
此时三边确定，三角形存在。利用面积法求高 $h$：
$$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ah $$
$$ \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \times 9 \times h $$
$$ 10\sqrt{2} = \frac{9}{2}h $$
解得 $h = \frac{20\sqrt{2}}{9}$。

**若选择条件③：$\triangle ABC$ 的面积为 $10\sqrt{2}$**
由面积公式 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A$，代入已知数据：
$$ 10\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times b \times 6 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} $$
$$ 10\sqrt{2} = 2\sqrt{2}b $$
解得 $b=5$。
由余弦定理求边 $a$：
$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 5^2 + 6^2 - 2 \times 5 \times 6 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = 81 $$
解得 $a=9$。
此时三边确定，三角形存在。同样利用面积公式 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ah$：
$$ 10\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 9 \times h $$
解得 $h = \frac{20\sqrt{2}}{9}$。