（14分）直线 y = k x + m ( m ≠ 0 )…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【考点】IR：两点间的距离公式；K4：椭圆的性质

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】（I）先根据条件得出线段OB的垂直平分线方程为 $y = \frac { 1 } { 2 }$ ，从而A、C 的坐标为 $( \pm { \sqrt { 3 } } , \ { \frac { 1 } { 2 } } )$ ，根据两点间的距离公式即可得出AC的长；

（II）欲证明四边形 OABC 不可能为菱形，只须证明若 $O A = O C$ ，则 A、C 两点的横坐标相等或互为相反数．设 $O A = O C = r$ ，则 A、C 为圆 $\mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { y } ^ { 2 } = \mathsf { r } ^ { 2 }$ 与椭圆W： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ 的交点，从而解得 $\frac { 3 \mathrm { x } ^ { 2 } } { 4 } = \mathrm { r } ^ { 2 } - 1$ ，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证

【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时， $A C \bot O B$ 而B（0，1），O（0，0），

∴线段OB的垂直平分线为 $y = \frac { 1 } { 2 }$

将 $y = \frac { 1 } { 2 }$ 代入椭圆方程得 $\times = \pm \sqrt { 3 }$

因此A、C的坐标为 $( \pm { \sqrt { 3 } } , \ { \frac { 1 } { 2 } } )$ ），如图，

于是 $A C = 2 \sqrt { 3 }$

（II）欲证明四边形 OABC 不可能为菱形，利用反证法，假设四边形 OABC 为菱形，则有 $O A = O C$

设 $O A = O C = r$ ，则A、C 为圆 $\mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { y } ^ { 2 } = \mathsf { r } ^ { 2 }$ 与椭圆 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ 的交点，

故 $\frac { 3 \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } = \mathbf { r } ^ { 2 } - 1 , \mathbf { x } ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } ( \mathbf { r } ^ { 2 } - 1 )$ ，则A、C 两点的横坐标相等或互为相反数

从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾

于是结论得证

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查等价转化思想，属于基础题