设 a _ n 是公差不为0的无穷等差数列， H | J…——2022 高考数学第 6 题答案解析

【解析】

【分析】设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为d，则 $d \neq 0$ ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论【详解】设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为d，则 $d \neq 0$ ，记 $[ x ]$ 为不超过x的最大整数.若 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为单调递增数列，则 $d > 0$ 若 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } \geq 0$ ，则当 $n \geq 2$ 时， $a _ { _ n } > a _ { 1 } \geq 0$ ；若 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } < 0$ ，则 $a _ { n } = a _ { 1 } + ( n - 1 ) d$ 由 $a _ { n } = a _ { 1 } + { \bigl ( } n - 1 { \bigr ) } d > 0$ 可得 $n > 1 - \frac { a _ { 1 } } { d }$ ，取 $N _ { 0 } = \left[ 1 - \frac { a _ { 1 } } { d } \right] + 1$ ，则当 $n > N _ { 0 }$ 时， $a _ { n } > 0$ 所以， $\textstyle \cdots { \left\{ a _ { n } \right\} }$ 是递增数列”Þ“存在正整数 $N _ { 0 }$ ，当 $n > N _ { 0 }$ 时， $a _ { n } > 0 ^ { , , }$ 若存在正整数 $N _ { 0 }$ ，当 $n > N _ { 0 }$ 时， $a _ { n } > 0$ ，取 $k \in \mathbf { N } ^ { * }$ 且 $k > N _ { 0 } , a _ { k } > 0$ 假设 $d < 0$ ，令 $a _ { n } = a _ { k } + \left( n - k \right) d < 0$ 可得 $n > k - { \frac { a _ { k } } { d } }$ ，且 $k - \frac { a _ { k } } { d } > k$ 当 $n > \left[ k - { \frac { a _ { k } } { d } } \right] + 1$ 时， $a _ { n } < 0$ ，与题设矛盾，假设不成立，则 $d > 0$ ，即数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是递增数列.所以， $\textstyle \cdots { \left\{ a _ { n } \right\} }$ 是递增数列”Ü“存在正整数 $N _ { 0 }$ ，当 $n > N _ { 0 }$ 时， $a _ { n } > 0 ^ { , , }$ 所以， $\cdots { \left\{ { { a } _ { n } } \right\} }$ 是递增数列”是“存在正整数 $N _ { 0 }$ ，当 $n > N _ { 0 }$ 时， $a _ { n } > 0 $ ”的充分必要条件.故选：C.