2021_省自主命题（河北）
18. 将两块半径均为R、完全相同的透明半圆柱体A、B正对放置，圆心上下错开一定距离，如图所示，用一束单色光沿半径照射半圆柱体A，设圆心处入射角为 $\theta$ ，当 $\theta = 6 0 ^ { \circ }$ 时，A 右侧恰好无光线射出；当 $\theta = 3 0 ^ { \circ }$ 时，有光线沿B的半径射出，射出位置与A的圆心相比下移h，不考虑多次反射，求：
（1）半圆柱体对该单色光的折射率；
（2）两个半圆柱体之间的距离 $d _ { \circ }$
（i） $n = { \frac { 2 } { 3 } } { \sqrt { 3 } }$ ；（ii） $d = \sqrt { 2 } ( h - \frac { R } { 2 } )$
【答案】（i） $n = { \frac { 2 } { 3 } } { \sqrt { 3 } }$ ；（ii） $d = \sqrt { 2 } ( h - \frac { R } { 2 } )$
【解析】
【分析】
【详解】（i）光从半圆柱体A 射入，满足从光密介质到光疏介质，当 $\theta = 6 0 ^ { \circ }$ 时发生全反射，有
$$ \sin \theta = { \frac { 1 } { n } } $$
解得
$$ n = { \frac { 2 } { 3 } } { \sqrt { 3 } } $$
（ii）当入射角 $\theta = 3 0 ^ { \circ }$ ，经两次折射从半圆柱体B的半径出射，设折射角为r，光路如图
由折射定律有
$$ \sin \theta \cdot n = \sin r $$
有几何关系有
$$ \tan r = { \frac { h - R \sin \theta } { d } } $$
联立解得
$$ d = \sqrt { 2 } ( h - \frac { R } { 2 } ) $$