已知函数 f(x)=|2 x-1|+|2 x+a|, g(…——2013 高考数学第 24 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（I）当 $a=-2$ 时，求不等式 $f(x)（II）不等式化即

$1+a \leq x+3$ ，故 $x \geq a-2$ 对 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 都成立，分析可得 $-\frac{a}{2} \geq a-2$ ，由此解得 $a$的取值范围．

【解答】解：（I）当 $a=-2$ 时，求不等式 $f(x)设 $y=|2 x-1|+|2 x-2|-x-3$ ，则 $y=\left\{\begin{array}{ll}-5 x & , x<\frac{1}{2} \\ -x-2, & \frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \\ 3 x-6, & x>1\end{array}\right.$ 它的图象如图所示：
结合图象可得，$y<0$ 的解集为 $(0,2)$ ，故原不等式的解集为 $(0,2)$ ．
（II）设 $a>-1$ ，且当 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x)=1+a$ ，不等式化为 $1+a \leq x+3$ ，故 $x \geq a-2$ 对 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 都成立。

故 $-\frac{\mathrm{a}}{2} \geq \mathrm{a}-2$ ，
解得 $\mathrm{a} \leq \frac{4}{3}$ ，
故 a 的取值范围为 $\left(-1, ~ \frac{4}{3}\right]$ ．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式。