（5分）已知直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_…——2017 高考数学第 10 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角．
【分析】【解法一】设 $M , N , P$ 分别为 $A B, ~ B B_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 的中点，得出 $A B_{1} , B C_{1}$ 夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ ，$M P$ 和 $\angle M N P$ 的余弦值即可。

【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．
【解答】解：【解法一】如图所示，设 $M , N , P$ 分别为 $A B, ~ B B_{1}$ 和 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则 $A B_{1} , B C_{1}$ 夹角为 $M N$ 和 $N P$ 夹角或其补角
（因异面直线所成角为 $\left.\left(0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ ，
可知 $\mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}_{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，
$\mathrm{NP}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} ;$
作 $B C$ 中点 $Q$ ，则 $\triangle P Q M$ 为直角三角形；
$\because \mathrm{PQ}=1, \quad \mathrm{MQ}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$ ，
$\triangle \mathrm{ABC}$ 中，由余弦定理得
$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2 \mathrm{AB} \bullet \mathrm{BC} \cdot \cos \angle \mathrm{ABC}$
$=4+1-2 \times 2 \times 1 \times\left(-\frac{1}{2}\right)$
$=7$ ，
$\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{7}$ ，
$\therefore \mathrm{MQ}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ ；
在 $\triangle \mathrm{MQP}$ 中， $\mathrm{MP}=\sqrt{\mathrm{MQ}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$ ；

在 $\triangle \mathrm{PMN}$ 中，由余弦定理得
$\cos \angle M N P=\frac{M N^{2}+N P^{2}-P^{2}}{2 \cdot M N \cdot N P}=\frac{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)^{2}}{2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{5} ;$
又异面直线所成角的范围是 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，
$\therefore \mathrm{AB}_{1}$ 与 $\mathrm{BC}_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．
【解法二】如图所示，

补成四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，求 $\angle B C_{1} D$ 即可；
$B C_{1}=\sqrt{2}, \quad B D=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2 \times 2 \times 1 \times \cos 60^{\circ}}=\sqrt{3}$ ，
$\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}=\sqrt{5}$,
$\therefore \mathrm{BC}_{1}{ }^{2}+\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{C}_{1} \mathrm{D}^{2}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{DBC}_{1}=90^{\circ}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{BC}_{1} \mathrm{D}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．
故选：C．

【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间

中的平行关系应用问题，是中档题．