已知 f ( x ) = 2 | x - a | - a…——2023 高考数学第 23 题答案解析

【答案】① $\left( { \frac { a } { 3 } } , 3 a \right)$

> ② $\frac { 2 { \sqrt { 6 } } } { 3 }$

【解析】

【分析】（1）分 $x \leq a$ 和 $x > a$ 讨论即可;

（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.

【小问1详解】

若 $x \leq a$ ,则 $f ( x ) = 2 a - 2 x - a < x$

即 $3 x > a$ ,解得 $x > \frac { a } { 3 }$ ,即 $\frac { a } { 3 } < x \leq a$

若 $x > a$ ,则 $f ( x ) = 2 x - 2 a - a < x$

解得 $x < 3 a$ ,即 $a < x < 3 a$

综上,不等式的解集为 $\left( { \frac { a } { 3 } } , 3 a \right)$

小问 2 详解】【

$$ f (x) = \left\{ \begin{array}{l} - 2 x + a, x \leq a \\ 2 x - 3 a, x > a \end{array} \right.. $$

画出 f x( ) 的草图,则 f x( ) 与坐标轴围成 $\triangle A D O$ 与 $\triangle A B C$

${ \triangle A B C }$ 的高为 $a , D ( 0 , a ) , A \left( { \frac { a } { 2 } } , 0 \right) , B \left( { \frac { 3 a } { 2 } } , 0 \right)$ ,所以| $A B \Vdash a$

所以 $S _ { \_ O A D } + S _ { \_ A B C } = \frac { 1 } { 2 } \vert O A \vert \cdot a + \frac { 1 } { 2 } \vert A B \vert \cdot a = \frac { 3 } { 4 } a ^ { 2 } = 2$ ,解得 $a = \frac { 2 \sqrt { 6 } } { 3 }$