某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一…——2022 高考数学第 19 题答案解析

19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： $\mathrm { m } ^ { 2 }$ ）和材积量（单位： $\mathbf { m } ^ { 3 } \mathbf { \ell }$ ），得到如下数据：

<table><tr><td>样本号i</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>总和</td></tr><tr><td>根部横截面积 $x_{i}$ </td><td>0.04</td><td>0.06</td><td>0.04</td><td>0.08</td><td>0.08</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.07</td><td>0.07</td><td>0.06</td><td>0.6</td></tr><tr><td>材积量 $y_{i}$ </td><td>0.25</td><td>0.40</td><td>0.22</td><td>0.54</td><td>0.51</td><td>0.34</td><td>0.36</td><td>0.46</td><td>0.42</td><td>0.40</td><td>3.9</td></tr></table>

并计算得 $\sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { 1 0 } x _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } = 0 . 0 3 8 , \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { 1 0 } y _ { \mathrm { i } } ^ { 2 } = 1 . 6 1 5 8 , \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { 1 0 } x _ { \mathrm { i } } y _ { \mathrm { i } } = 0 . 2 4 7 4$

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

$1 8 6 \mathrm m ^ { 2 }$ ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量

的估计值

附：相关系数 $r = { \frac { \displaystyle \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n } ( x _ { \mathrm { i } } - { \overline { { x } } } ) ( y _ { \mathrm { i } } - { \overline { { y } } } ) } { \sqrt { \displaystyle \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n } ( x _ { \mathrm { i } } - { \overline { { x } } } ) ^ { 2 } \sum _ { \mathrm { i = 1 } } ^ { n } ( y _ { \mathrm { i } } - { \overline { { y } } } ) ^ { 2 } } } } , { \sqrt { 1 . 8 9 6 } } \approx 1 . 3 7 7$