（12分）如图，三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（ I ）由题目给出的边的关系，可想到去 AB 中点 O ，连结 $\mathrm{OC}, \mathrm{OA}_{1}$ ，可通过证明 $A B \perp$ 平面 $O A_{1} C$ 得要证的结论；
（II）在三角形 $\mathrm{OCA}_{1}$ 中，由勾股定理得到 $\mathrm{OA}_{1} \perp \mathrm{OC}$ ，再根据 $O A_{1} \perp A B$ ，得到 $O A_{1}$ 为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公

式求体积。
【解答】（I）证明：如图，
取 $A B$ 的中点 $O$ ，连结 $O C,{O A_{1}}, A_{1} B$ ．
因为 $C A=C B$ ，所以 $O C \perp A B$ ．
由于 $A B=A A_{1}, \angle B A A_{1}=60^{\circ}$ ，故 $\triangle A A_{1} B$ 为等边三角形，
所以 $O A_{1} \perp A B$ ．
因为 $O C \cap O A_{1}=O$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $O A_{1} C$ ．
又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \subset$ 平面 $\mathrm{OA}_{1} \mathrm{C}$ ，故 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ；
（II）解：由题设知 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A A_{1} B$ 都是边长为 2 的等边三角形，
所以 $\mathrm{OC}=\mathrm{OA}_{1}=\sqrt{3}$ ．
又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}=\sqrt{6}$ ，则 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}^{2}=O C^{2}+O \mathrm{~A}_{1}{ }^{2}$ ，故 $O \mathrm{~A}_{1} \perp O C$ ．
因为 $O C \cap A B=O$ ，所以 $O A_{1} \perp$ 平面 $A B C, O A_{1}$ 为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高．
又 $\triangle A B C$ 的面积 $S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$ ，故三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积

$$ V=S_{\triangle A B C} \times O A_{1}=\sqrt{3} \times \sqrt{3}=3 . $$

【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．