2013 新课标 I 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）已知集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\left\{x \mid x=n^{2}, n \in A\right\}$ ，则 $A \cap B=$（）

2．（5分）$\frac{1+2 i}{(1-i)^{2}}=$

3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2的概率是（ ）

4．（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为（ ）

5．（5分）已知命题 p ：$\forall x \in \mathrm{R}, 2^{x}<3^{x}$ ；命题 $\mathrm{q}: ~ \exists x \in \mathrm{R}, x^{3}=1-x^{2}$ ，则下列命题中为真命题的是（）

6．（5分）设首项为 1 ，公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）

7．（5分）执行程序框图，如果输入的 $\mathrm{t} \in[-1,3]$ ，则输出的 s 属于（ ） 

8．（5分） O 为坐标原点， F 为抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=4 \sqrt{2} \mathrm{x}$ 的焦点， P 为 C 上一点，若 $|\mathrm{PF}| =4 \sqrt{2}$ ，则 $\triangle P O F$ 的面积为（ ）

9．（5分）函数 $f(x)=(1-\cos x) \sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图象大致为

10．（5分）已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, 23 \cos ^{2} A+\cos 2 A=0, a=7, c=6$ ，则 $b=$

11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为   

12．（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

13．（5分）已知两个单位向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}, \vec{c}=t \vec{a}+(1-t) \vec{b}$ ．若 $\vec{b} \bullet \vec{c}=0$ ，则 $\mathrm{t}=$ $\_\_\_\_$ 2。

14．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}1 \leqslant x \leqslant 3 \\ -1 \leqslant x-y \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x-y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 3。

15．（5分）已知 $H$ 是球 $O$ 的直径 $A B$ 上一点，$A H$ ：$H B=1: 2, A B \perp$ 平面 $\alpha, H$ 为垂足，$\alpha$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $\pi$ ，则球 $O$ 的表面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{9 \pi}{2}$。

16．（5分）设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

17．（12分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{3}=0, S_{5}=-5$ ． （I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）求数列 $\left\{\frac{1}{a_{2 n-1} a_{2 n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用A药， 20 位患者服用B药，这 40 位患者服用一段时间后 ，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：$h$ ）实验的观测结果如下： 服用A药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： $\begin{array}{llllllllll}0.6 & 1.2 & 2.7 & 1.5 & 2.8 & 1.8 & 2.2 & 2.3 & 3.2 & 3.5\end{array}$ $\begin{array}{lllllllllll}2.5 & 2.6 & 1.2 & 2.7 & 1.5 & 2.9 & 3.0 & 3.1 & 2.3 & 2.4\end{array}$ 服用B药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间： | 3.2 | 1.7 | 1.9 | 0.8 | 0.9 | 2.4 | 1.2 | 2.6 | 1.3 | 1.4 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 1.6 | 0.5 | 1.8 | 0.6 | 2.1 | 1.1 | 2.5 | 1.2 | 2.7 | 0.5 | （I）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （II）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ | A药 | | B药 | | :--- | :--- | :--- | | | 0. | | | | 1. | | | | 2. | |

19．（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$C A=C B, A B=A A_{1}, ~ \angle B A A_{1}=60^{\circ}$ （I）证明： $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ； （II）若 $A B=C B=2, A_{1} C=\sqrt{6}$ ，求三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积． 

20．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ $0, f($ 0））处切线方程为 $y=4 x+4$ ． （I）求 a ， b 的值； （II）讨论 $f(x)$ 的单调性，并求 $f(x)$ 的极大值。

21．（12分）已知圆M：（ $x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，圆 $N$ ：（ $\left.x-1\right)^{2}+y^{2}=9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ． （I）求C的方程； （II） I 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， I 与曲线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，当圆 P 的半径最长时，求 $|A B|$ ．

22．（10分）（选修4－1：几何证明选讲） 如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上，$\angle A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ，$D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ ． （I）证明： $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ； （II）设圆的半径为 $1, B C=\sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径． 

23．已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+5 \cos t \\ y=5+5 \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta$ ． （1）把 $\mathrm{C}_{1}$ 的参数方程化为极坐标方程； （2）求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标 $(\rho \geq 0,0 \leq \theta<2 \pi)$ ．

24．已知函数 $f(x)=|2 x-1|+|2 x+a|, g(x)=x+3$ ． （I）当 $a=-2$ 时，求不等式 $f(x)<g(x)$ 的解集； （II）设 $a>-1$ ，且当 $x \in\left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right]$ 时，$f(x) \leq g(x)$ ，求 $a$ 的取值范围．