2019_江苏卷
23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A _ { n } = \{ ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , . . . , ( n , 0 ) \}$ Bn = {(0, 1), (n, 1)}, Cn = {(0, 2), (1, 2), (2, 2),· · · , (n, 2)}, n ∈ N\*.
$M _ { n } = A _ { n } \bigcup B _ { n } \bigcup C _ { n }$ .从集合 $M _ { n }$ 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率 $P \ ( X { \leq } n )$ （用n表示）.
(1) 见解析; (2) 见解析
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】（1）见解析；
（2） 见解析.
【解析】
【分析】
> ①由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；
(2)将原问题转化为对立事件的问题求解 $P \left( X > n \right)$ 的值，据此分类讨论①.b = d，②. b = 0, d = 1，③.
$b = 0 , d = 2$ ，④.b = 1, d = 2 四种情况确定 X满足 $X > n$ 的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定 $P ( X \leqslant n )$ 的值.
【详解】①当n=1时，X的所有可能取值是 $1 , { \sqrt { 2 } } , 2 , { \sqrt { 5 } }$
X的概率分布为 $P ( X = 1 ) = \frac { 7 } { \mathrm { C } _ { 6 } ^ { 2 } } = \frac { 7 } { 1 5 } , P ( X = \sqrt { 2 } ) = \frac { 4 } { \mathrm { C } _ { 6 } ^ { 2 } } = \frac { 4 } { 1 5 } ,$
$$ P ( X = 2 ) = \frac { 2 } { \mathrm { C } _ { 6 } ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 1 5 } , P ( X = \sqrt { 5 } ) = \frac { 2 } { \mathrm { C } _ { 6 } ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 1 5 } . $$
> ②设A(a，b)和B(c，d)是从 $M _ { n }$ 中取出的两个点.
因为 $P ( X \leq n ) = 1 - P ( X > n )$ ，所以仅需考虑X > n的情况.
①若b=d，则 $A B \leq n$ ，不存在 X > n 的取法；
②若 $b = 0 , d = 1$ ，则 $A B = { \sqrt { \left( a - c \right) ^ { 2 } + 1 } } \leq { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } }$ ，所以 $X > n$ 当且仅当 $A B = { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } }$ ，此时a = 0，c = n 或a = n，c = 0，有2种取法；
③若 $b = 0 , d = 2$ ，则 $A B = { \sqrt { \left( a - c \right) ^ { 2 } + 4 } } \leq { \sqrt { n ^ { 2 } + 4 } }$ ，因为当 $n \geq 3$ 时， ${ \sqrt { \left( n - 1 \right) ^ { 2 } + 4 } } \leq n$ ，所以 $X > n$ 当且仅当 $A B = { \sqrt { n ^ { 2 } + 4 } }$ ，此时 a = 0，c = n或 a = n，c = 0，有2种取法；
④若 $b = 1 , d = 2$ ，则 $A B = { \sqrt { \left( a - c \right) ^ { 2 } + 1 } } \leq { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } }$ ，所以 $X > n$ 当且仅当 $A B = { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } }$ ，此时 a = 0，c = n 或 a = n，c = 0，有2种取法.
综上，当X>n时，X的所有可能取值是 $\sqrt { n ^ { 2 } + 1 }$ 和 $\sqrt { n ^ { 2 } + 4 }$ ，且
$$ P ( X = \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } ) = \frac { 4 } { \mathrm { C } _ { 2 n + 4 } ^ { 2 } } { , } P ( X = \sqrt { n ^ { 2 } + 4 } ) = \frac { 2 } { \mathrm { C } _ { 2 n + 4 } ^ { 2 } } { . } $$
因此， $P ( X \leq n ) = 1 - P ( X = { \sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } ) - P ( X = { \sqrt { n ^ { 2 } + 4 } } ) = 1 - { \frac { 6 } { \mathbf { C } _ { 2 n + 4 } ^ { 2 } } } .$
【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力.