（10分） A B C 的内角 A、 B、 C 的对边分别…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【考点】 HU ：解三角形．
【专题】11：计算题．
【分析】由A－C等于 $\frac{\pi}{2}$ 得到A为钝角，根据诱导公式可知 $\sin A$ 与 $\cos C$ 相等，然后利用正弦定理把 $\mathrm{a}+\mathrm{c}=\sqrt{2} \mathrm{~b}$ 化简后，把 $\sin \mathrm{A}$ 换为 $\cos \mathrm{C}$ ，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边

都除以 $\sqrt{2}$ 后，根据 C 和 B 的范围，得到 $\mathrm{C}+\frac{\pi}{4}=\mathrm{B}$ 或 $\mathrm{C}+\frac{\pi}{4}+\mathrm{B}=\pi$ ，根据 A 为钝角，所以 $C+\frac{\pi}{4}+B=\pi$ 不成立舍去，然后根据三角形的内角和为 $\pi$ ，列出关于 $C$ 的方程，求出方程的解即可得到 C 的度数。
【解答】解：由 $A-C=\frac{\pi}{2}$ ，得到 $A$ 为钝角且 $\sin A=\cos C$ ，
利用正弦定理， $\mathrm{a}+\mathrm{c}=\sqrt{2} \mathrm{~b}$ 可变为： $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{C}=\sqrt{2} \sin \mathrm{~B}$ ，
即有 $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{C}=\cos \mathrm{C}+\sin \mathrm{C}=\sqrt{2} \sin \left(\mathrm{C}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} \sin \mathrm{~B}$ ，
又 $A, B, C$ 是 $\triangle A B C$ 的内角，
故 $C+\frac{\pi}{4}=B$ 或 $C+\frac{\pi}{4}+B=\pi$（舍去），
所以 $A+B+C=\left(C+\frac{\pi}{2}\right)+\left(C+\frac{\pi}{4}\right)+C=\pi$ ，
解得 $\mathrm{C}=\frac{\pi}{12}$ ．
【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题。学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．