已知双曲线 x ^ 2 a ^ 2 - y ^ 2 b ^…——2023 高考数学第 8 题答案解析

【答案】D

【解析】

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由 $e = { \sqrt { 5 } }$ ，则 ${ \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = 1 + { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = 5$ 解得 $\displaystyle \frac { b } { a } = 2$ 所以双曲线的一条渐近线不妨取 $y = 2 x$ 则圆心(2,3)到渐近线 距离的 $d = { \frac { | 2 \times 2 - 3 | } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 } } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$ 所以弦长 | $A B | = 2 { \sqrt { r ^ { 2 } - d ^ { 2 } } } = 2 { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { 5 } } } } = { \frac { 4 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$

故选：D