（12分）如图，在四棱锥 P-A B C D 中， A B…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；$L Y$ ：平面与平面垂直．
【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】（1）推导出 $A B \perp P A, C D \perp P D$ ，从而 $A B \perp P D$ ，进而 $A B \perp$ 平面 $P A D$ ，由此能证明平面 $P A B \perp$ 平面 $P A D$ ．
（2）设 $P A=P D=A B=D C=a$ ，取 $A D$ 中点 $O$ ，连结 $P O$ ，则 $P O \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $A D=\sqrt{2} a$ ， $\mathrm{PO}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{a}$ ，由四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ ，求出 $\mathrm{a}=2$ ，由此能求出该四棱锥的侧面积．

【解答】证明：（1）∵ 在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，$\angle \mathrm{BAP}=\angle \mathrm{CDP}=90^{\circ}$ ，
$\therefore A B \perp P A, C D \perp P D$,
又 $A B \| C D, \therefore A B \perp P D$ ，
$\because P A \cap P D=P, \therefore A B \perp$ 平面 $P A D$,
$\because \mathrm{AB} \subset$ 平面 $\mathrm{PAB}, \therefore$ 平面 $\mathrm{PAB} \perp$ 平面 PAD ．
解：（2）设 $P A=P D=A B=D C=a$ ，取 $A D$ 中点 $O$ ，连结 $P O$ ，

$\because P A=P D=A B=D C, \angle A P D=90^{\circ}$ ，平面 $P A B \perp$ 平面 $P A D$ ，
$\therefore P O \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $A D=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2} a, P O=\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，
∵ 四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 的体积为 $\frac{8}{3}$ ，
由 $A B \perp$ 平面 $P A D$ ，得 $A B \perp A D$ ，
$\therefore \mathrm{V}_{\text {P－ABCD }}=\frac{1}{3} \times \mathrm{S}_{\text {四边形 } \mathrm{ABCD}} \times \mathrm{PO}$
$=\frac{1}{3} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{AD} \times \mathrm{PO}=\frac{1}{3} \times \mathrm{a} \times \sqrt{2} \mathrm{a} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{a}=\frac{1}{3} \mathrm{a}^{3}=\frac{8}{3}$ ，
解得 $a=2, \therefore P A=P D=A B=D C=2, \quad A D=B C=2 \sqrt{2}, P O=\sqrt{2}$ ，
$\therefore P B=P C=\sqrt{4+4}=2 \sqrt{2}$ ，
∴ 该四棱锥的侧面积：
$S_{\text {侧 }}=S_{\triangle P A D}+S_{\triangle P A B}+S_{\triangle P D C}+S_{\triangle P B C}$
$=\frac{1}{2} \times \mathrm{PA} \times \mathrm{PD}^{+} \frac{1}{2} \times \mathrm{PA} \times \mathrm{AB}^{+} \frac{1}{2} \times \mathrm{PD} \times \mathrm{DC}^{+} \frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \sqrt{\mathrm{PB}^{2}-\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}}$
$=\frac{1}{2} \times 2 \times 2+\frac{1}{2} \times 2 \times 2+\frac{1}{2} \times 2 \times 2+\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{8-2}$
$=6+2 \sqrt{3}$ ．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．