（12分）如图，直三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1…——2012 高考数学第 19 题答案解析

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法

【专题】15：综合题．
【分析】（1）证明 $\mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BC}$ ，只需证明 $\mathrm{DC}_{1} \perp$ 面 BCD ，即证明 $\mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{DC}, \mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BD}$ ；
（2）证明 $B C \perp$ 面 $A C C_{1} A_{1}$ ，可得 $B C \perp A C$ 取 $A_{1} B_{1}$ 的中点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O H \perp B D$ 于点 $H$ ，连接 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{O}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{H}$ ，可得点 H 与点 D 重合且 $\angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{DO}$ 是二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}_{1}$ 的平面角，由此可求二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小。

【解答】（1）证明：在Rt $\triangle \mathrm{DAC}$ 中， $\mathrm{AD}=\mathrm{AC}, \therefore \angle \mathrm{ADC}=45^{\circ}$
同理：$\angle \mathrm{A}_{1} \mathrm{DC}_{1}=45^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{CDC}_{1}=90^{\circ}$
$\therefore \mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{DC}, \quad \mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BD}$
$\because \mathrm{DC} \cap \mathrm{BD}=\mathrm{D}$
$\therefore \mathrm{DC}_{1} \perp$ 面BCD
$\because B C \subset$ 面BCD
$\therefore \mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BC}$
（2）解：$\because \mathrm{DC}_{1} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{CC}_{1} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{DC}_{1} \cap \mathrm{CC}_{1}=\mathrm{C}_{1}, \therefore \mathrm{BC} \perp$ 面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，
$\because \mathrm{ACC}$ 面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}, \therefore \mathrm{BC} \perp \mathrm{AC}$
取 $A_{1} B_{1}$ 的中点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O H \perp B D$ 于点 $H$ ，连接 $C_{1} O, O H$
$\because \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}_{1}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \quad \therefore \mathrm{C}_{1} \mathrm{O} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$,
$\because$ 面 $A_{1} B_{1} C_{1} \perp$ 面 $A_{1} B D$ ，面 $A_{1} B_{1} C_{1} \cap$ 面 $A_{1} B D=A_{1} B_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{C}_{1} \mathrm{O} \perp$ 面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BD}$
而 $B D \subset$ 面 $A_{1} B D$
$\therefore \mathrm{BD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{O}$ ，
$\because \mathrm{OH} \perp \mathrm{BD}, \quad \mathrm{C}_{1} \mathrm{O} \cap \mathrm{OH}=\mathrm{O}$ ，
$\therefore \mathrm{BD} \perp$ 面 $\mathrm{C}_{1} \mathrm{OH} \therefore \mathrm{C}_{1} \mathrm{H} \perp \mathrm{BD}, \therefore$ 点 H 与点 D 重合且 $\angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{DO}$ 是二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}_{1}$ 的平面角
设 $A C=a$ ，则 $C_{1} O=\frac{\sqrt{2} a}{2}, C_{1} D=\sqrt{2} a=2 C_{1} O$ ，
$\therefore \sin \angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{DO}=\frac{1}{2}$
$\therefore \angle \mathrm{C}_{1} \mathrm{DO}=30^{\circ}$
即二面角 $A_{1}-B D-C_{1}$ 的大小为 $30^{\circ}$

【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定 ，正确作出面面角，属于中档题．