如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方…——2011 高考物理第 15 题答案解析

设半圆的半径为 $R$，圆心为 $O$。以 $a$ 点为原点，水平向右为 $x$ 轴正方向，竖直向下为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系。

1. **确定 $c$ 点的坐标**
已知 $c$ 点与水平地面的距离为圆半径的一半，即 $c$ 点的纵坐标 $y_c = \frac{R}{2}$。
在 $\triangle Odc$（设 $d$ 为 $c$ 点在直径 $ab$ 上的投影）中，斜边 $Oc = R$，直角边 $cd = \frac{R}{2}$。
根据勾股定理，另一条直角边 $Od$ 的长度为：
$$ Od = \sqrt{R^2 - (\frac{R}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}R $$
因为小球从 $a$ 点抛出击中右侧坑壁上的 $c$ 点，所以 $c$ 点的横坐标 $x_c$ 等于半径 $R$ 加上 $Od$ 的长度：
$$ x_c = R + \frac{\sqrt{3}}{2}R = (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})R $$

2. **利用平抛运动规律列方程**
小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。
竖直方向位移：
$$ y_c = \frac{1}{2}gt^2 \implies \frac{R}{2} = \frac{1}{2}gt^2 \implies t^2 = \frac{R}{g} $$
水平方向位移：
$$ x_c = v_0 t \implies (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})R = v_0 t $$

3. **联立求解半径 $R$**
将水平位移方程两边平方：
$$ [(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})R]^2 = v_0^2 t^2 $$
代入 $t^2 = \frac{R}{g}$：
$$ (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 R^2 = v_0^2 \frac{R}{g} $$
展开左边的系数：
$$ (1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}) R^2 = \frac{v_0^2 R}{g} $$
$$ (\frac{7}{4} + \sqrt{3}) R^2 = \frac{v_0^2 R}{g} $$
消去一个 $R$（$R \neq 0$）并整理得：
$$ R = \frac{v_0^2}{g(\frac{7}{4} + \sqrt{3})} $$
分子分母同乘 4 以简化表达式：
$$ R = \frac{4v_0^2}{g(7 + 4\sqrt{3})} $$